Номер 950, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

950. Из села в город, к которому ведёт дорога длиной 120 км, выехала легковая автомашина. Через 30 мин из города в село выехал грузовик и встретился с легковой автомашиной в 45 км от города. Найдите скорость грузовика, если она меньше скорости легковой автомашины на 5 км/ч.

Пусть $v_г$ км/ч — скорость грузовика. По условию задачи, скорость легковой автомашины на 5 км/ч больше, следовательно, её скорость $v_л = v_г + 5$ км/ч.

Общее расстояние между селом и городом составляет 120 км. Встреча произошла в 45 км от города. Так как грузовик выехал из города, он проехал до места встречи расстояние $S_г = 45$ км. Легковая автомашина выехала из села, значит, она проехала расстояние $S_л = 120 - 45 = 75$ км.

Легковая автомашина выехала на 30 минут раньше грузовика. Переведем 30 минут в часы: 30 мин = 0.5 часа. Если время движения грузовика до встречи равно $t_г$, то время движения легковой автомашины $t_л = t_г + 0.5$ часа.

Используем формулу расстояния $S = v \cdot t$ для каждого транспортного средства:

1. Для грузовика: $S_г = v_г \cdot t_г \implies 45 = v_г \cdot t_г$.

2. Для легковой автомашины: $S_л = v_л \cdot t_л \implies 75 = (v_г + 5) \cdot (t_г + 0.5)$.

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Выразим время $t_г$ из первого уравнения:

$t_г = \frac{45}{v_г}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$75 = (v_г + 5) \cdot (\frac{45}{v_г} + 0.5)$

Теперь решим это уравнение относительно $v_г$. Для удобства временно обозначим $v_г$ как $x$:

$75 = (x + 5) \cdot (\frac{45}{x} + \frac{1}{2})$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$75 = (x + 5) \cdot (\frac{90 + x}{2x})$

Умножим обе части уравнения на $2x$ (при условии, что $x \neq 0$, что верно, так как скорость не может быть нулевой):

$75 \cdot 2x = (x + 5) \cdot (90 + x)$

$150x = 90x + x^2 + 450 + 5x$

$150x = x^2 + 95x + 450$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 95x - 150x + 450 = 0$

$x^2 - 55x + 450 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 450 = 3025 - 1800 = 1225$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их. $\sqrt{1225} = 35$.

$x_1 = \frac{-(-55) + 35}{2 \cdot 1} = \frac{55 + 35}{2} = \frac{90}{2} = 45$

$x_2 = \frac{-(-55) - 35}{2 \cdot 1} = \frac{55 - 35}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Мы получили два возможных значения для скорости грузовика: 45 км/ч и 10 км/ч. Проверим оба варианта.

Случай 1: Скорость грузовика $v_г = 45$ км/ч.

Тогда скорость легковой машины $v_л = 45 + 5 = 50$ км/ч.
Время движения грузовика: $t_г = \frac{45 \text{ км}}{45 \text{ км/ч}} = 1$ час.
Время движения легковой машины: $t_л = \frac{75 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = 1.5$ часа.
Разница во времени: $t_л - t_г = 1.5 - 1 = 0.5$ часа, что равно 30 минутам. Этот вариант подходит.

Случай 2: Скорость грузовика $v_г = 10$ км/ч.

Тогда скорость легковой машины $v_л = 10 + 5 = 15$ км/ч.
Время движения грузовика: $t_г = \frac{45 \text{ км}}{10 \text{ км/ч}} = 4.5$ часа.
Время движения легковой машины: $t_л = \frac{75 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = 5$ часов.
Разница во времени: $t_л - t_г = 5 - 4.5 = 0.5$ часа, что также равно 30 минутам. Этот вариант тоже подходит.

Оба найденных значения являются решениями задачи.

Ответ: скорость грузовика может быть 45 км/ч или 10 км/ч.