Страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

943. Моторная лодка прошла по течению реки 36 км и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, зная, что скорость течения равна 3 км/ч.

Пусть $x$ км/ч — скорость моторной лодки в стоячей воде. Согласно условию задачи, скорость течения реки равна 3 км/ч.

Тогда скорость лодки по течению реки составляет $v_{по\;теч.} = (x + 3)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки — $v_{против\;теч.} = (x - 3)$ км/ч. Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Лодка прошла расстояние $S = 36$ км по течению. Время, затраченное на этот путь, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$:

$t_1 = \frac{36}{x + 3}$ ч.

На обратный путь против течения лодка затратила следующее время:

$t_2 = \frac{36}{x - 3}$ ч.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 5 часов. Можем составить уравнение, сложив время движения по течению и против течения:

$t_1 + t_2 = 5$

$\frac{36}{x + 3} + \frac{36}{x - 3} = 5$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$:

$\frac{36(x - 3) + 36(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 5$

$\frac{36x - 108 + 36x + 108}{x^2 - 9} = 5$

$\frac{72x}{x^2 - 9} = 5$

Теперь умножим обе части уравнения на $(x^2 - 9)$, при условии, что $x^2 - 9 \neq 0$ (т.е. $x \neq \pm 3$):

$72x = 5(x^2 - 9)$

$72x = 5x^2 - 45$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 - 72x - 45 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15$

$x_2 = \frac{72 - 78}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6$

Корень $x_2 = -0.6$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет условию $x > 3$.

Таким образом, скорость моторной лодки в стоячей воде составляет 15 км/ч.

Проверка:

Время движения по течению: $t_1 = \frac{36}{15 + 3} = \frac{36}{18} = 2$ часа.

Время движения против течения: $t_2 = \frac{36}{15 - 3} = \frac{36}{12} = 3$ часа.

Общее время: $t_1 + t_2 = 2 + 3 = 5$ часов. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 15 км/ч.

944. Моторная лодка прошла 18 км по течению и 14 км против течения, затратив на весь путь 3 ч 15 мин. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки 10 км/ч.

Пусть искомая скорость течения реки равна $x$ км/ч.

Собственная скорость лодки равна 10 км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(10 + x)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки — $(10 - x)$ км/ч. Очевидно, что для движения против течения необходимо, чтобы собственная скорость лодки была больше скорости течения, то есть $x < 10$.

Время, которое лодка затратила на путь по течению, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$. В данном случае это $t_1 = \frac{18}{10 + x}$ часов.

Время, которое лодка затратила на путь против течения, составляет $t_2 = \frac{14}{10 - x}$ часов.

Общее время, затраченное на весь путь, равно 3 ч 15 мин. Переведем это значение в часы для удобства вычислений:$3 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 3 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{1}{4} \text{ ч} = \frac{12}{4} + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}$ ч.

Сумма времени движения по течению и против течения равна общему времени в пути. Составим и решим уравнение:$t_1 + t_2 = \frac{13}{4}$$\frac{18}{10 + x} + \frac{14}{10 - x} = \frac{13}{4}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(10 + x)(10 - x) = 100 - x^2$:$\frac{18(10 - x) + 14(10 + x)}{(10 + x)(10 - x)} = \frac{13}{4}$$\frac{180 - 18x + 140 + 14x}{100 - x^2} = \frac{13}{4}$$\frac{320 - 4x}{100 - x^2} = \frac{13}{4}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):$4(320 - 4x) = 13(100 - x^2)$$1280 - 16x = 1300 - 13x^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:$13x^2 - 16x + 1280 - 1300 = 0$$13x^2 - 16x - 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-16)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-20) = 256 + 1040 = 1296$$\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$

Найдем корни уравнения:$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 36}{2 \cdot 13} = \frac{52}{26} = 2$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 36}{2 \cdot 13} = \frac{-20}{26} = -\frac{10}{13}$

Скорость течения не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -\frac{10}{13}$ не подходит по смыслу задачи. Также, корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $x<10$.Следовательно, скорость течения реки равна 2 км/ч.

Проверим найденное решение:Время по течению: $\frac{18}{10 + 2} = \frac{18}{12} = 1.5$ ч.Время против течения: $\frac{14}{10 - 2} = \frac{14}{8} = 1.75$ ч.Общее время: $1.5 + 1.75 = 3.25$ ч.$3.25$ ч $= 3$ ч и $0.25 \cdot 60 = 15$ мин.Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 2 км/ч.

945. Катер прошёл 75 км по течению реки и столько же против течения. На весь путь он затратил в 2 раза больше времени, чем ему понадобилось бы, чтобы пройти 80 км в стоячей воде. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения равна 5 км/ч?

Для решения этой задачи введем переменные и составим уравнение.

Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость катера (скорость в стоячей воде). Это значение нам и нужно найти.

Из условия задачи известно, что скорость течения реки равна 5 км/ч. Тогда:

• Скорость катера по течению реки: $v_{по} = (x + 5)$ км/ч.
• Скорость катера против течения реки: $v_{против} = (x - 5)$ км/ч.

Катер прошел 75 км по течению и 75 км против течения. Найдем время, затраченное на каждый участок пути, используя формулу времени $t = S/v$ :

• Время движения по течению: $t_{по} = \frac{75}{x+5}$ ч.
• Время движения против течения: $t_{против} = \frac{75}{x-5}$ ч.

Общее время, затраченное на весь путь, равно сумме времени движения по течению и против течения:

$T_{общ} = t_{по} + t_{против} = \frac{75}{x+5} + \frac{75}{x-5}$ ч.

Теперь рассмотрим вторую часть условия. Время, которое понадобилось бы катеру, чтобы пройти 80 км в стоячей воде, равно:

$T_{стоячая} = \frac{80}{x}$ ч.

По условию, на весь путь (туда и обратно) катер затратил в 2 раза больше времени, чем ему понадобилось бы, чтобы пройти 80 км в стоячей воде. Это можно записать в виде уравнения:

$T_{общ} = 2 \cdot T_{стоячая}$

Подставим выражения для времени в это уравнение:

$\frac{75}{x+5} + \frac{75}{x-5} = 2 \cdot \frac{80}{x}$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{75(x-5) + 75(x+5)}{(x+5)(x-5)} = \frac{160}{x}$

Раскроем скобки в числителе левой части:

$\frac{75x - 375 + 75x + 375}{x^2 - 25} = \frac{160}{x}$

Упростим числитель:

$\frac{150x}{x^2 - 25} = \frac{160}{x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$: $x \neq 0$, $x \neq 5$, $x \neq -5$. Так как скорость не может быть отрицательной и катер должен двигаться против течения, то $x > 5$.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$150x \cdot x = 160 \cdot (x^2 - 25)$

$150x^2 = 160x^2 - 160 \cdot 25$

$150x^2 = 160x^2 - 4000$

Перенесем все члены с $x^2$ в одну сторону:

$160x^2 - 150x^2 = 4000$

$10x^2 = 4000$

$x^2 = \frac{4000}{10}$

$x^2 = 400$

Найдем $x$, извлекая квадратный корень:

$x = \sqrt{400}$

$x_1 = 20$ и $x_2 = -20$.

Корень $x = -20$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x=20$ удовлетворяет ОДЗ ($20 > 5$).

Следовательно, скорость катера в стоячей воде равна 20 км/ч.

Ответ: 20 км/ч.

946. Токарь должен был обработать 240 деталей к определённому сроку. Усовершенствовав резец, он стал обрабатывать в час на 2 детали больше, чем предполагалось по плану, и потому выполнил задание на 4 ч раньше срока. Сколько деталей в час должен был обрабатывать токарь?

Пусть $x$ деталей в час — это производительность, которую токарь должен был иметь по плану. Тогда время, необходимое для обработки 240 деталей, составило бы $\frac{240}{x}$ часов.

После усовершенствования резца токарь стал обрабатывать на 2 детали в час больше. Его новая производительность стала $(x + 2)$ деталей в час. Фактическое время, затраченное на работу, составило $\frac{240}{x+2}$ часов.

По условию задачи, он выполнил задание на 4 часа раньше срока. Это означает, что разница между плановым временем и фактическим временем составляет 4 часа. Составим и решим уравнение:

$\frac{240}{x} - \frac{240}{x+2} = 4$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$\frac{60}{x} - \frac{60}{x+2} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+2)$. Ограничения на переменную: $x > 0$, так как производительность не может быть отрицательной или равной нулю.

$\frac{60(x+2) - 60x}{x(x+2)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{60x + 120 - 60x}{x^2 + 2x} = 1$

$\frac{120}{x^2 + 2x} = 1$

Из этого следует:

$x^2 + 2x = 120$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 120 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$

$\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку $x$ обозначает количество деталей, производимых в час, это значение должно быть положительным. Следовательно, корень $x_2 = -12$ не удовлетворяет условию задачи.

Единственный подходящий корень — $x = 10$. Таким образом, по плану токарь должен был обрабатывать 10 деталей в час.

Проверка:
Плановое время: $\frac{240}{10} = 24$ часа.
Фактическая производительность: $10 + 2 = 12$ деталей в час.
Фактическое время: $\frac{240}{12} = 20$ часов.
Разница во времени: $24 - 20 = 4$ часа. Условия задачи выполнены.

Ответ: 10 деталей в час.

947. Сотрудник типографии должен набрать к определённому сроку рукопись объёмом 150 страниц. Если он будет набирать на 5 страниц в день больше, чем обычно, то закончит работу на 1 день раньше намеченного срока. Сколько страниц в день обычно набирает сотрудник?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество страниц, которое сотрудник обычно набирает в день. Это искомая величина.

Общий объем работы составляет 150 страниц. Следовательно, время, которое сотрудник обычно тратит на выполнение всей работы, можно выразить как отношение общего объема работы к его производительности: $t_1 = \frac{150}{x}$ дней.

По условию, если сотрудник будет набирать на 5 страниц в день больше, его новая производительность составит $x + 5$ страниц в день. В этом случае он закончит работу на 1 день раньше запланированного срока. Таким образом, новое время на выполнение работы составит $t_2 = t_1 - 1 = \frac{150}{x} - 1$ дней.

Объем работы при новой производительности остается прежним (150 страниц), поэтому мы можем составить уравнение, связывающее новую производительность и новое время:

$(x + 5) \cdot (\frac{150}{x} - 1) = 150$

Теперь необходимо решить это уравнение. Раскроем скобки в левой части:

$x \cdot \frac{150}{x} - x \cdot 1 + 5 \cdot \frac{150}{x} - 5 \cdot 1 = 150$

$150 - x + \frac{750}{x} - 5 = 150$

Вычтем 150 из обеих частей уравнения и приведем подобные слагаемые:

$-x + \frac{750}{x} - 5 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x$. Мы можем это сделать, так как количество страниц в день $x$ не может быть равно нулю.

$-x^2 + 750 - 5x = 0$

Умножим уравнение на -1 и запишем его в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 5x - 750 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-750) = 25 + 3000 = 3025$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{3025}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 55}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{3025}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 55}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

Поскольку $x$ обозначает количество страниц, набираемых в день, это значение должно быть положительным. Таким образом, корень $x_2 = -30$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи. Единственным верным решением является $x = 25$.

Проверим найденное решение. Если обычная скорость — 25 страниц в день, то на 150 страниц уйдет $150 / 25 = 6$ дней. Если скорость увеличить на 5, она станет $25 + 5 = 30$ страниц в день. Тогда работа будет выполнена за $150 / 30 = 5$ дней. Разница во времени составляет $6 - 5 = 1$ день, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 25 страниц.

948. Турист отправился на автомашине из города A в город B. Первые 75 км он ехал со скоростью, на 10 км/ч меньшей, чем рассчитывал, а остальной путь со скоростью, на 10 км/ч большей, чем рассчитывал. В город B, который удалён от города A на 180 км, турист прибыл вовремя. С какой скоростью он ехал в конце пути?

Пусть $v$ км/ч — это расчетная (планируемая) скорость туриста.

Первые 75 км турист ехал со скоростью на 10 км/ч меньше расчетной, то есть его скорость была $v - 10$ км/ч. Время, затраченное на этот участок пути, составляет $t_1 = \frac{75}{v - 10}$ ч.

Остальной путь составляет $180 - 75 = 105$ км. Этот участок турист проехал со скоростью на 10 км/ч больше расчетной, то есть $v + 10$ км/ч. Время, затраченное на второй участок пути, составляет $t_2 = \frac{105}{v + 10}$ ч.

Общее время в пути составило $t_{факт} = t_1 + t_2 = \frac{75}{v - 10} + \frac{105}{v + 10}$ ч.

По плану турист должен был проехать все 180 км со скоростью $v$ км/ч. Планируемое время в пути составляет $t_{план} = \frac{180}{v}$ ч.

По условию задачи турист прибыл в город В вовремя, это значит, что фактическое время в пути равно планируемому:

$t_{факт} = t_{план}$

$\frac{75}{v - 10} + \frac{105}{v + 10} = \frac{180}{v}$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 15 (наибольший общий делитель чисел 75, 105 и 180):

$\frac{5}{v - 10} + \frac{7}{v + 10} = \frac{12}{v}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{5(v + 10) + 7(v - 10)}{(v - 10)(v + 10)} = \frac{12}{v}$

$\frac{5v + 50 + 7v - 70}{v^2 - 100} = \frac{12}{v}$

$\frac{12v - 20}{v^2 - 100} = \frac{12}{v}$

Воспользуемся свойством пропорции (при условии, что $v \neq 0$, $v \neq 10$ и $v \neq -10$):

$v(12v - 20) = 12(v^2 - 100)$

$12v^2 - 20v = 12v^2 - 1200$

Вычтем $12v^2$ из обеих частей уравнения:

$-20v = -1200$

$v = \frac{-1200}{-20} = 60$

Таким образом, расчетная скорость туриста составляла 60 км/ч.

Вопрос задачи — с какой скоростью он ехал в конце пути. В конце пути его скорость была на 10 км/ч больше расчетной:

$v_{конец} = v + 10 = 60 + 10 = 70$ км/ч.

Ответ: 70 км/ч.

949. Расстояние от станции до железнодорожной станции равно 60 км. Мотоциклист выехал из станции на $1\frac{1}{4}$ ч позже велосипедиста и прибыл на станцию, когда велосипедист был от неё в 21 км. Найдите скорость велосипедиста, если она была на 18 км/ч меньше скорости мотоциклиста.

Пусть скорость велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда, согласно условию задачи, скорость мотоциклиста на 18 км/ч больше, то есть составляет $(x + 18)$ км/ч.

Расстояние от станицы до железнодорожной станции равно 60 км. Мотоциклист проехал это расстояние полностью. Время, которое он затратил на путь, можно вычислить по формуле $t = S/v$:

$t_{мото} = \frac{60}{x+18}$ ч.

В тот момент, когда мотоциклист прибыл на станцию, велосипедист находился на расстоянии 21 км от нее. Это означает, что велосипедист проехал расстояние:

$S_{вело} = 60 - 21 = 39$ км.

Время, которое велосипедист был в пути до этого момента, составляет:

$t_{вело} = \frac{39}{x}$ ч.

По условию, мотоциклист выехал на $1\frac{1}{4}$ часа позже велосипедиста. Это означает, что время, которое велосипедист провел в пути, на $1\frac{1}{4}$ часа больше, чем время мотоциклиста. Запишем это в виде уравнения:

$t_{вело} = t_{мото} + 1\frac{1}{4}$

Подставим в это уравнение выражения для времени, которые мы нашли ранее, и преобразуем $1\frac{1}{4}$ в неправильную дробь $\frac{5}{4}$:

$\frac{39}{x} = \frac{60}{x+18} + \frac{5}{4}$

Для решения этого уравнения перенесем слагаемое с переменной в левую часть:

$\frac{39}{x} - \frac{60}{x+18} = \frac{5}{4}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+18)$:

$\frac{39(x+18) - 60x}{x(x+18)} = \frac{5}{4}$

$\frac{39x + 702 - 60x}{x^2 + 18x} = \frac{5}{4}$

$\frac{702 - 21x}{x^2 + 18x} = \frac{5}{4}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$4(702 - 21x) = 5(x^2 + 18x)$

$2808 - 84x = 5x^2 + 90x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 + 90x + 84x - 2808 = 0$

$5x^2 + 174x - 2808 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$\Delta = b^2 - 4ac = 174^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2808) = 30276 + 56160 = 86436$

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-174 \pm \sqrt{86436}}{2 \cdot 5} = \frac{-174 \pm 294}{10}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{-174 + 294}{10} = \frac{120}{10} = 12$

$x_2 = \frac{-174 - 294}{10} = \frac{-468}{10} = -46.8$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -46.8$ не является решением задачи. Следовательно, скорость велосипедиста равна 12 км/ч.

Выполним проверку.Скорость велосипедиста: 12 км/ч.Скорость мотоциклиста: $12 + 18 = 30$ км/ч.Время в пути мотоциклиста: $60 \text{ км} / 30 \text{ км/ч} = 2$ ч.Велосипедист был в пути на $1\frac{1}{4}$ ч дольше, то есть $2 + 1.25 = 3.25$ ч.За это время велосипедист проехал: $12 \text{ км/ч} \times 3.25 \text{ ч} = 39$ км.Расстояние от велосипедиста до станции: $60 - 39 = 21$ км.Все условия задачи выполняются.

Ответ: 12 км/ч.

950. Из села в город, к которому ведёт дорога длиной 120 км, выехала легковая автомашина. Через 30 мин из города в село выехал грузовик и встретился с легковой автомашиной в 45 км от города. Найдите скорость грузовика, если она меньше скорости легковой автомашины на 5 км/ч.

Пусть $v_г$ км/ч — скорость грузовика. По условию задачи, скорость легковой автомашины на 5 км/ч больше, следовательно, её скорость $v_л = v_г + 5$ км/ч.

Общее расстояние между селом и городом составляет 120 км. Встреча произошла в 45 км от города. Так как грузовик выехал из города, он проехал до места встречи расстояние $S_г = 45$ км. Легковая автомашина выехала из села, значит, она проехала расстояние $S_л = 120 - 45 = 75$ км.

Легковая автомашина выехала на 30 минут раньше грузовика. Переведем 30 минут в часы: 30 мин = 0.5 часа. Если время движения грузовика до встречи равно $t_г$, то время движения легковой автомашины $t_л = t_г + 0.5$ часа.

Используем формулу расстояния $S = v \cdot t$ для каждого транспортного средства:

1. Для грузовика: $S_г = v_г \cdot t_г \implies 45 = v_г \cdot t_г$.

2. Для легковой автомашины: $S_л = v_л \cdot t_л \implies 75 = (v_г + 5) \cdot (t_г + 0.5)$.

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Выразим время $t_г$ из первого уравнения:

$t_г = \frac{45}{v_г}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$75 = (v_г + 5) \cdot (\frac{45}{v_г} + 0.5)$

Теперь решим это уравнение относительно $v_г$. Для удобства временно обозначим $v_г$ как $x$:

$75 = (x + 5) \cdot (\frac{45}{x} + \frac{1}{2})$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$75 = (x + 5) \cdot (\frac{90 + x}{2x})$

Умножим обе части уравнения на $2x$ (при условии, что $x \neq 0$, что верно, так как скорость не может быть нулевой):

$75 \cdot 2x = (x + 5) \cdot (90 + x)$

$150x = 90x + x^2 + 450 + 5x$

$150x = x^2 + 95x + 450$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 95x - 150x + 450 = 0$

$x^2 - 55x + 450 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 450 = 3025 - 1800 = 1225$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их. $\sqrt{1225} = 35$.

$x_1 = \frac{-(-55) + 35}{2 \cdot 1} = \frac{55 + 35}{2} = \frac{90}{2} = 45$

$x_2 = \frac{-(-55) - 35}{2 \cdot 1} = \frac{55 - 35}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Мы получили два возможных значения для скорости грузовика: 45 км/ч и 10 км/ч. Проверим оба варианта.

Случай 1: Скорость грузовика $v_г = 45$ км/ч.

Тогда скорость легковой машины $v_л = 45 + 5 = 50$ км/ч.
Время движения грузовика: $t_г = \frac{45 \text{ км}}{45 \text{ км/ч}} = 1$ час.
Время движения легковой машины: $t_л = \frac{75 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = 1.5$ часа.
Разница во времени: $t_л - t_г = 1.5 - 1 = 0.5$ часа, что равно 30 минутам. Этот вариант подходит.

Случай 2: Скорость грузовика $v_г = 10$ км/ч.

Тогда скорость легковой машины $v_л = 10 + 5 = 15$ км/ч.
Время движения грузовика: $t_г = \frac{45 \text{ км}}{10 \text{ км/ч}} = 4.5$ часа.
Время движения легковой машины: $t_л = \frac{75 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = 5$ часов.
Разница во времени: $t_л - t_г = 5 - 4.5 = 0.5$ часа, что также равно 30 минутам. Этот вариант тоже подходит.

Оба найденных значения являются решениями задачи.

Ответ: скорость грузовика может быть 45 км/ч или 10 км/ч.

951. Решите уравнение:

a) $4x^4 - 17x^2 + 4 = 0$;

б) $9x^4 + 77x^2 - 36 = 0$;

в) $2x^4 - 9x^2 - 5 = 0$;

г) $6x^4 - 5x^2 - 1 = 0$.

а) $4x^4 - 17x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$, при этом должно выполняться условие $y \ge 0$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $y$:

$4y^2 - 17y + 4 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$

Найдем корни уравнения для $y$ по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$y_2 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Оба корня ($4$ и $\frac{1}{4}$) удовлетворяют условию $y \ge 0$. Вернемся к исходной переменной $x$.

1) Если $y = 4$, то $x^2 = 4$, откуда $x_{1,2} = \pm\sqrt{4} = \pm 2$.

2) Если $y = \frac{1}{4}$, то $x^2 = \frac{1}{4}$, откуда $x_{3,4} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$.

Ответ: $\pm 2; \pm \frac{1}{2}$.

б) $9x^4 + 77x^2 - 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $9y^2 + 77y - 36 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = 77^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 5929 + 1296 = 7225$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-77 + \sqrt{7225}}{2 \cdot 9} = \frac{-77 + 85}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

$y_2 = \frac{-77 - \sqrt{7225}}{2 \cdot 9} = \frac{-77 - 85}{18} = \frac{-162}{18} = -9$

Корень $y_2 = -9$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим корень $y_1 = \frac{4}{9}$. Вернемся к замене:

$x^2 = \frac{4}{9}$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{4}{9}} = \pm \frac{2}{3}$

Ответ: $\pm \frac{2}{3}$.

в) $2x^4 - 9x^2 - 5 = 0$

Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Уравнение примет вид: $2y^2 - 9y - 5 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$y_2 = \frac{9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 11}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Корень $y_2 = -\frac{1}{2}$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому отбрасываем его.

Остается корень $y_1 = 5$. Сделаем обратную замену:

$x^2 = 5$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{5}$

Ответ: $\pm \sqrt{5}$.

г) $6x^4 - 5x^2 - 1 = 0$

Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $6y^2 - 5y - 1 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$

$y_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

Корень $y_2 = -\frac{1}{6}$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим корень $y_1 = 1$. Вернемся к замене:

$x^2 = 1$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{1} = \pm 1$

Ответ: $\pm 1$.