Страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

925. Решите уравнение:

а) $3x(x - 1) - 17 = x(1 + 3x) + 1;$

б) $2x - (x + 2)(x - 2) = 5 - (x - 1)^2;$

в) $\frac{3x+1}{2} = \frac{2x-3}{5};$

г) $\frac{x-3}{6} + x = \frac{2x-1}{3} - \frac{4-x}{2}.$

а) $3x(x - 1) - 17 = x(1 + 3x) + 1$

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x \cdot x - 3x \cdot 1 - 17 = x \cdot 1 + x \cdot 3x + 1$

$3x^2 - 3x - 17 = x + 3x^2 + 1$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные слагаемые — в правую. Член $3x^2$ присутствует в обеих частях, поэтому он сокращается.

$3x^2 - 3x^2 - 3x - x = 1 + 17$

Приведем подобные слагаемые:

$-4x = 18$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -4:

$x = \frac{18}{-4}$

$x = -4.5$

Ответ: -4.5.

б) $2x - (x + 2)(x - 2) = 5 - (x - 1)^2$

Для упрощения выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и квадратом разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$

$(x - 1)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$2x - (x^2 - 4) = 5 - (x^2 - 2x + 1)$

Раскроем скобки, учитывая знаки:

$2x - x^2 + 4 = 5 - x^2 + 2x - 1$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$2x - x^2 + 4 = (5 - 1) - x^2 + 2x$

$2x - x^2 + 4 = 4 - x^2 + 2x$

Мы видим, что левая и правая части уравнения идентичны. Если перенести все члены в одну сторону, они взаимно уничтожатся:

$(2x - 2x) + (-x^2 + x^2) + (4 - 4) = 0$

$0 = 0$

Это тождество, верное для любого значения $x$.

Ответ: $x$ — любое число.

в) $\frac{3x + 1}{2} = \frac{2x - 3}{5}$

Это уравнение представляет собой пропорцию. Мы можем решить его, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$5 \cdot (3x + 1) = 2 \cdot (2x - 3)$

Раскроем скобки:

$15x + 5 = 4x - 6$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а числовые члены — в правую:

$15x - 4x = -6 - 5$

Приведем подобные слагаемые:

$11x = -11$

Найдем $x$, разделив обе части на 11:

$x = \frac{-11}{11}$

$x = -1$

Ответ: -1.

г) $\frac{x - 3}{6} + x = \frac{2x - 1}{3} - \frac{4 - x}{2}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим все члены уравнения на наименьший общий знаменатель, который для чисел 6, 3 и 2 равен 6.

$6 \cdot \left(\frac{x - 3}{6}\right) + 6 \cdot x = 6 \cdot \left(\frac{2x - 1}{3}\right) - 6 \cdot \left(\frac{4 - x}{2}\right)$

Сократим дроби:

$1 \cdot (x - 3) + 6x = 2 \cdot (2x - 1) - 3 \cdot (4 - x)$

Раскроем скобки:

$x - 3 + 6x = 4x - 2 - 12 + 3x$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$(x + 6x) - 3 = (4x + 3x) + (-2 - 12)$

$7x - 3 = 7x - 14$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$7x - 7x = -14 + 3$

$0 = -11$

Получилось неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

926. От фермы до станции Пётр может доехать на велосипеде или дойти пешком. Идёт он со скоростью 6 км/ч, а на велосипеде едет со скоростью 16 км/ч. Каково расстояние от фермы до станции, если на велосипеде Пётр тратит на этот путь на 40 мин меньше?

Пусть искомое расстояние от фермы до станции равно $S$ км.

Скорость Петра пешком составляет $v_{пеш} = 6$ км/ч. Скорость Петра на велосипеде составляет $v_{вел} = 16$ км/ч.

Время движения вычисляется по формуле $t = S/v$. Время, которое Пётр тратит на дорогу пешком, равно $t_{пеш} = S/6$ часов. Время, которое Пётр тратит на дорогу на велосипеде, равно $t_{вел} = S/16$ часов.

Из условия известно, что на велосипеде Пётр тратит на 40 минут меньше. Переведём эту разницу во времени в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы: $40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.

Теперь можно составить уравнение, отражающее разницу во времени: $t_{пеш} - t_{вел} = \frac{2}{3}$ $\frac{S}{6} - \frac{S}{16} = \frac{2}{3}$

Для решения этого уравнения найдём общий знаменатель для дробей в левой части. Наименьшее общее кратное для чисел 6 и 16 равно 48. $\frac{8 \cdot S}{48} - \frac{3 \cdot S}{48} = \frac{2}{3}$ $\frac{8S - 3S}{48} = \frac{2}{3}$ $\frac{5S}{48} = \frac{2}{3}$

Теперь найдём $S$: $5S = \frac{2}{3} \cdot 48$ $5S = 2 \cdot 16$ $5S = 32$ $S = \frac{32}{5}$ $S = 6.4$ км.

Ответ: 6,4 км.

927. Расстояние от города А до города В поезд должен проходить по расписанию за 4 ч 30 мин. По техническим причинам он был задержан с отправлением из города А на 30 мин. Увеличив скорость на 10 км/ч, поезд прибыл в город В вовремя. Найдите расстояние между городами А и В.

Пусть $S$ - искомое расстояние между городами A и B (в км), а $v$ - плановая скорость поезда (в км/ч).

Плановое время в пути по расписанию составляет 4 ч 30 мин. Переведем это значение в часы для удобства расчетов:
$t_{план} = 4 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 4 + \frac{30}{60} \text{ ч} = 4.5 \text{ ч}$.

Таким образом, расстояние $S$ можно выразить через плановую скорость и время как:
$S = v \cdot t_{план} = 4.5v$.

Поезд был задержан на 30 минут ($0.5$ часа). Чтобы прибыть в город B вовремя, он должен был покрыть расстояние за меньшее время. Фактическое время в пути составило:
$t_{факт} = t_{план} - 0.5 \text{ ч} = 4.5 - 0.5 = 4 \text{ ч}$.

Для этого поезд увеличил свою скорость на 10 км/ч. Новая, фактическая скорость поезда стала:
$v_{факт} = v + 10$ (км/ч).

Расстояние $S$ также можно выразить через фактическую скорость и фактическое время:
$S = v_{факт} \cdot t_{факт} = (v + 10) \cdot 4$.

Поскольку расстояние $S$ в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять два полученных выражения:
$4.5v = 4(v + 10)$.

Решим это уравнение, чтобы найти плановую скорость $v$:
$4.5v = 4v + 40$
$4.5v - 4v = 40$
$0.5v = 40$
$v = \frac{40}{0.5}$
$v = 80$ (км/ч).

Итак, плановая скорость поезда составляла 80 км/ч. Теперь найдем расстояние между городами, подставив значение $v$ в первую формулу:
$S = 4.5 \cdot v = 4.5 \cdot 80 = 360$ (км).

Для проверки можно использовать и вторую формулу. Фактическая скорость: $80 + 10 = 90$ км/ч. Расстояние: $90 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 360$ км. Результаты совпадают.

Ответ: 360 км.

928. Из пункта A в пункт B вышел пешеход, а через 30 мин из пункта B в пункт A выехал велосипедист. Скорость велосипедиста на 8 км/ч больше скорости пешехода. Велосипедист через 1,5 ч после выезда встретил пешехода. С какой скоростью шел пешеход и ехал велосипедист, если известно, что расстояние между пунктами A и B равно 26 км?

Для решения этой задачи обозначим скорость пешехода за неизвестную величину $x$ и составим уравнение, исходя из того, что суммарное расстояние, пройденное пешеходом и велосипедистом до их встречи, равно общему расстоянию между пунктами A и B.

Пусть скорость пешехода равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость велосипедиста на 8 км/ч больше, следовательно, она составляет $(x + 8)$ км/ч.

Пешеход вышел из пункта А. Через 30 минут (то есть 0,5 часа) из пункта B навстречу ему выехал велосипедист. Они встретились через 1,5 часа после выезда велосипедиста. Это означает, что время движения велосипедиста до встречи $t_{в}$ равно 1,5 ч. Так как пешеход вышел на 0,5 часа раньше, его время в пути до встречи $t_{п}$ составляет: $t_{п} = 1,5 \text{ ч} + 0,5 \text{ ч} = 2$ часа.

За 2 часа пешеход прошел расстояние $S_{п} = v_{п} \cdot t_{п} = x \cdot 2 = 2x$ км. За 1,5 часа велосипедист проехал расстояние $S_{в} = v_{в} \cdot t_{в} = (x + 8) \cdot 1,5$ км.

В момент встречи сумма пройденных ими расстояний равна расстоянию между пунктами A и B, то есть 26 км. Составим уравнение: $S_{п} + S_{в} = 26$

$2x + 1,5(x + 8) = 26$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки: $2x + 1,5x + 1,5 \cdot 8 = 26$

$2x + 1,5x + 12 = 26$

Приведем подобные слагаемые: $3,5x = 26 - 12$

$3,5x = 14$

Найдем $x$: $x = \frac{14}{3,5}$

$x = 4$

Таким образом, скорость пешехода составляет 4 км/ч.

Теперь найдем скорость велосипедиста, которая на 8 км/ч больше: $4 + 8 = 12$ км/ч.

Ответ: скорость пешехода – 4 км/ч, скорость велосипедиста – 12 км/ч.

929. Среднее арифметическое четырёх чисел равно 11,5. Второе число в 1,5 раза меньше первого и на 10 меньше третьего, а четвёртое равно сумме первого и второго. Найдите эти числа.

Пусть искомые числа это $n_1$, $n_2$, $n_3$ и $n_4$.

По определению среднего арифметического, сумма четырех чисел, деленная на их количество, равна 11,5. Отсюда мы можем найти сумму этих чисел:

Сумма = $11,5 \cdot 4 = 46$

$n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 46$

Теперь выразим все четыре числа через одну переменную, чтобы составить уравнение. Удобнее всего взять за основу второе число, $n_2$, так как с ним связаны остальные. Пусть $n_2 = x$.

Из условия известно, что второе число ($x$) в 1,5 раза меньше первого. Это значит, что первое число в 1,5 раза больше второго:

$n_1 = 1,5 \cdot x = 1,5x$

Также известно, что второе число ($x$) на 10 меньше третьего. Следовательно, третье число на 10 больше второго:

$n_3 = x + 10$

Четвёртое число равно сумме первого и второго:

$n_4 = n_1 + n_2 = 1,5x + x = 2,5x$

Теперь, когда все числа выражены через $x$, подставим их в уравнение для суммы:

$1,5x + x + (x + 10) + 2,5x = 46$

Сгруппируем и сложим все слагаемые, содержащие $x$:

$(1,5 + 1 + 1 + 2,5)x + 10 = 46$

$6x + 10 = 46$

Решим полученное линейное уравнение:

$6x = 46 - 10$

$6x = 36$

$x = \frac{36}{6}$

$x = 6$

Мы нашли значение $x$, которое равно второму числу. Теперь найдем остальные числа:

Первое число: $n_1 = 1,5 \cdot x = 1,5 \cdot 6 = 9$.

Второе число: $n_2 = x = 6$.

Третье число: $n_3 = x + 10 = 6 + 10 = 16$.

Четвёртое число: $n_4 = 2,5 \cdot x = 2,5 \cdot 6 = 15$.

Проведем проверку. Сумма чисел: $9 + 6 + 16 + 15 = 46$. Среднее арифметическое: $\frac{46}{4} = 11,5$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 9, 6, 16, 15.

930. Сколько нужно добавить воды к 300 г $20\%$-ного раствора соли, чтобы получить $8\%$-ный раствор этой соли?

Для решения задачи нужно исходить из того, что при добавлении воды масса растворенной соли не изменяется. Изменяется только общая масса раствора, и, как следствие, процентная концентрация соли.

1. Сначала вычислим, сколько граммов соли содержится в исходном 300 г 20%-ного раствора.

Масса соли ($m_{соли}$) вычисляется как произведение массы раствора на его концентрацию (в долях):
$m_{соли} = 300 \text{ г} \times 0.20 = 60 \text{ г}$

2. Теперь мы знаем, что в новом, 8%-ном растворе, масса соли также будет равна 60 г. Зная это, мы можем вычислить, какой должна быть общая масса нового раствора ($m_{новый}$).

Концентрация = $\frac{m_{соли}}{m_{новый}}$
$0.08 = \frac{60 \text{ г}}{m_{новый}}$

Отсюда выразим массу нового раствора:
$m_{новый} = \frac{60 \text{ г}}{0.08} = 750 \text{ г}$

3. Итак, масса конечного раствора должна быть 750 г. Исходный раствор имел массу 300 г. Разница между этими массами и будет массой воды, которую необходимо добавить.

Масса добавленной воды ($m_{воды}$) = $m_{новый} - m_{исходный}$
$m_{воды} = 750 \text{ г} - 300 \text{ г} = 450 \text{ г}$

Ответ: необходимо добавить 450 г воды.

931. Решите квадратное уравнение:

а) $2.5x^2 + 4x = 0;$

б) $6y^2 - 0.24 = 0;$

в) $0.2t^2 - t - 4.8 = 0;$

г) $3\frac{1}{3}u^2 + 3u - 3 = 0.$

а) Дано уравнение $2,5x^2 + 4x = 0$.

Это неполное квадратное уравнение, в котором свободный член $c=0$. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2,5x + 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $2,5x + 4 = 0$

Решим второе уравнение:

$2,5x = -4$

$x_2 = \frac{-4}{2,5} = \frac{-40}{25} = \frac{-8}{5} = -1,6$

Ответ: $x_1 = 0$; $x_2 = -1,6$.

б) Дано уравнение $6y^2 - 0,24 = 0$.

Это неполное квадратное уравнение, в котором коэффициент $b=0$. Для его решения перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим на коэффициент при $y^2$:

$6y^2 = 0,24$

$y^2 = \frac{0,24}{6}$

$y^2 = 0,04$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти значения $y$. Не забываем, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$y = \pm\sqrt{0,04}$

$y_1 = 0,2$ и $y_2 = -0,2$

Ответ: $y_1 = 0,2$; $y_2 = -0,2$.

в) Дано уравнение $0,2t^2 - t - 4,8 = 0$.

Это полное квадратное уравнение вида $at^2 + bt + c = 0$. Чтобы упростить вычисления, избавимся от десятичных дробей, умножив обе части уравнения на 10:

$10 \cdot (0,2t^2 - t - 4,8) = 10 \cdot 0$

$2t^2 - 10t - 48 = 0$

Заметим, что все коэффициенты делятся на 2. Разделим обе части уравнения на 2:

$t^2 - 5t - 24 = 0$

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=1$, $b=-5$, $c=-24$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Формула для нахождения корней: $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $t_1 = 8$; $t_2 = -3$.

г) Дано уравнение $3\frac{1}{3}u^2 + 3u - 3 = 0$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{10}{3}u^2 + 3u - 3 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot (\frac{10}{3}u^2 + 3u - 3) = 3 \cdot 0$

$10u^2 + 9u - 9 = 0$

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=10$, $b=9$, $c=-9$. Решим его с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-9) = 81 + 360 = 441$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$.

Найдем корни по формуле $u = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$u_1 = \frac{-9 + 21}{2 \cdot 10} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0,6$

$u_2 = \frac{-9 - 21}{2 \cdot 10} = \frac{-30}{20} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: $u_1 = 0,6$; $u_2 = -1,5$.

932. Существует ли значение переменной x, при котором значение квадратного трёхчлена $x^2 - 10x + 31$ равно:

a) -5;

б) 6;

в) 55?

Чтобы определить, существует ли значение переменной x, при котором квадратный трёхчлен $x^2 - 10x + 31$ принимает заданное значение, нужно приравнять трёхчлен к этому значению и проанализировать полученное квадратное уравнение. Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Также можно выделить полный квадрат, чтобы найти наименьшее значение трёхчлена:

$x^2 - 10x + 31 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 31 = (x - 5)^2 - 25 + 31 = (x - 5)^2 + 6$

Так как $(x-5)^2 \ge 0$ для любого действительного x, то наименьшее значение всего выражения равно $0 + 6 = 6$. Это означает, что значение трёхчлена не может быть меньше 6.

а)

Проверим, может ли значение трёхчлена быть равным -5. Как мы выяснили выше, наименьшее значение выражения равно 6, поэтому оно не может быть равно -5.

Проверим это с помощью уравнения:

$x^2 - 10x + 31 = -5$

$x^2 - 10x + 36 = 0$

Вычислим дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 100 - 144 = -44$

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: не существует.

б)

Проверим, может ли значение трёхчлена быть равным 6. Мы уже определили, что 6 является наименьшим значением данного трёхчлена, и оно достигается при $(x - 5)^2 = 0$, то есть при $x=5$.

Решим соответствующее уравнение:

$x^2 - 10x + 31 = 6$

$x^2 - 10x + 25 = 0$

$(x-5)^2 = 0$

$x = 5$

Уравнение имеет один действительный корень, значит, такое значение переменной x существует.

Ответ: существует.

в)

Проверим, может ли значение трёхчлена быть равным 55. Так как 55 больше наименьшего значения (6), такое значение x должно существовать. Проверим это, решив уравнение:

$x^2 - 10x + 31 = 55$

$x^2 - 10x - 24 = 0$

Вычислим дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$

Поскольку $D = 196 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Следовательно, такое значение x существует.

Ответ: существует.

933. При каких значениях m уравнение имеет хотя бы один корень:

а) $10x^2 - 10x + m = 0;$

б) $mx^2 + 4x - 2 = 0;$

в) $3x^2 + mx - 5 = 0;$

г) $2x^2 - mx + 2 = 0?$

Для того чтобы уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицателен ($D \ge 0$) в случае квадратного уравнения, либо чтобы уравнение было линейным и имело решение.

а) $10x^2 - 10x + m = 0$

Это квадратное уравнение, так как коэффициент при $x^2$ равен 10. Оно имеет хотя бы один корень, если его дискриминант $D \ge 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=10$, $b=-10$, $c=m$.

Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 10 \cdot m = 100 - 40m$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$100 - 40m \ge 0$

$100 \ge 40m$

$m \le \frac{100}{40}$

$m \le 2.5$

Ответ: $m \in (-\infty; 2.5]$.

б) $mx^2 + 4x - 2 = 0$

В этом уравнении коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $m$. Рассмотрим два случая.

1. Если $m = 0$, уравнение становится линейным:

$0 \cdot x^2 + 4x - 2 = 0$

$4x = 2$

$x = 0.5$

Уравнение имеет один корень, что удовлетворяет условию. Значит, $m=0$ является решением.

2. Если $m \ne 0$, уравнение является квадратным. Оно имеет хотя бы один корень при $D \ge 0$.

Коэффициенты: $a=m$, $b=4$, $c=-2$.

$D = 4^2 - 4 \cdot m \cdot (-2) = 16 + 8m$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$16 + 8m \ge 0$

$8m \ge -16$

$m \ge -2$

С учетом условия $m \ne 0$, получаем $m \in [-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

Объединяя результаты обоих случаев ($m=0$ и $m \in [-2; 0) \cup (0; +\infty)$), получаем итоговый промежуток для $m$.

Ответ: $m \in [-2; +\infty)$.

в) $3x^2 + mx - 5 = 0$

Это квадратное уравнение, так как коэффициент при $x^2$ равен 3. Оно имеет хотя бы один корень при $D \ge 0$.

Коэффициенты: $a=3$, $b=m$, $c=-5$.

$D = m^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = m^2 + 60$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$m^2 + 60 \ge 0$.

Поскольку $m^2$ всегда неотрицательно ($m^2 \ge 0$) для любого действительного $m$, то выражение $m^2 + 60$ всегда будет положительным (как минимум 60). Неравенство $m^2 + 60 \ge 0$ выполняется для любых значений $m$.

Следовательно, уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Ответ: $m \in (-\infty; +\infty)$.

г) $2x^2 - mx + 2 = 0$

Это квадратное уравнение, так как коэффициент при $x^2$ равен 2. Оно имеет хотя бы один корень при $D \ge 0$.

Коэффициенты: $a=2$, $b=-m$, $c=2$.

$D = (-m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = m^2 - 16$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$m^2 - 16 \ge 0$

$(m-4)(m+4) \ge 0$

Решением этого неравенства являются значения $m$, которые меньше или равны $-4$, а также значения $m$, которые больше или равны 4.

Ответ: $m \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.