Номер 931, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

931. Решите квадратное уравнение:

а) $2.5x^2 + 4x = 0;$

б) $6y^2 - 0.24 = 0;$

в) $0.2t^2 - t - 4.8 = 0;$

г) $3\frac{1}{3}u^2 + 3u - 3 = 0.$

а) Дано уравнение $2,5x^2 + 4x = 0$.

Это неполное квадратное уравнение, в котором свободный член $c=0$. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2,5x + 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $2,5x + 4 = 0$

Решим второе уравнение:

$2,5x = -4$

$x_2 = \frac{-4}{2,5} = \frac{-40}{25} = \frac{-8}{5} = -1,6$

Ответ: $x_1 = 0$; $x_2 = -1,6$.

б) Дано уравнение $6y^2 - 0,24 = 0$.

Это неполное квадратное уравнение, в котором коэффициент $b=0$. Для его решения перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим на коэффициент при $y^2$:

$6y^2 = 0,24$

$y^2 = \frac{0,24}{6}$

$y^2 = 0,04$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти значения $y$. Не забываем, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$y = \pm\sqrt{0,04}$

$y_1 = 0,2$ и $y_2 = -0,2$

Ответ: $y_1 = 0,2$; $y_2 = -0,2$.

в) Дано уравнение $0,2t^2 - t - 4,8 = 0$.

Это полное квадратное уравнение вида $at^2 + bt + c = 0$. Чтобы упростить вычисления, избавимся от десятичных дробей, умножив обе части уравнения на 10:

$10 \cdot (0,2t^2 - t - 4,8) = 10 \cdot 0$

$2t^2 - 10t - 48 = 0$

Заметим, что все коэффициенты делятся на 2. Разделим обе части уравнения на 2:

$t^2 - 5t - 24 = 0$

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=1$, $b=-5$, $c=-24$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Формула для нахождения корней: $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $t_1 = 8$; $t_2 = -3$.

г) Дано уравнение $3\frac{1}{3}u^2 + 3u - 3 = 0$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{10}{3}u^2 + 3u - 3 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot (\frac{10}{3}u^2 + 3u - 3) = 3 \cdot 0$

$10u^2 + 9u - 9 = 0$

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a=10$, $b=9$, $c=-9$. Решим его с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-9) = 81 + 360 = 441$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$.

Найдем корни по формуле $u = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$u_1 = \frac{-9 + 21}{2 \cdot 10} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0,6$

$u_2 = \frac{-9 - 21}{2 \cdot 10} = \frac{-30}{20} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: $u_1 = 0,6$; $u_2 = -1,5$.