Номер 938, страница 229 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

938. Цифра десятков двузначного числа на 3 меньше цифры единиц, а произведение этого двузначного числа на сумму его цифр равно 70. Найдите это число.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10x + y$, где $x$ — это цифра десятков, а $y$ — это цифра единиц.

Согласно первому условию, цифра десятков на 3 меньше цифры единиц. Это можно записать в виде уравнения:

$x = y - 3$

Согласно второму условию, произведение этого двузначного числа на сумму его цифр равно 70. Сумма цифр числа равна $x + y$. Составим второе уравнение:

$(10x + y)(x + y) = 70$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными. Чтобы ее решить, подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$(10(y - 3) + y)((y - 3) + y) = 70$

Упростим выражение в каждой скобке:

$(10y - 30 + y)(2y - 3) = 70$

$(11y - 30)(2y - 3) = 70$

Теперь раскроем скобки, чтобы получить квадратное уравнение:

$22y^2 - 33y - 60y + 90 = 70$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены уравнения в левую часть:

$22y^2 - 93y + 90 - 70 = 0$

$22y^2 - 93y + 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-93)^2 - 4 \cdot 22 \cdot 20 = 8649 - 1760 = 6889$

Найдем корни уравнения, зная, что $\sqrt{D} = \sqrt{6889} = 83$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{93 + 83}{2 \cdot 22} = \frac{176}{44} = 4$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{93 - 83}{2 \cdot 22} = \frac{10}{44} = \frac{5}{22}$

Поскольку $y$ — это цифра, она должна быть целым числом. Второй корень $y_2 = \frac{5}{22}$ не является целым, поэтому он не подходит в качестве решения. Таким образом, цифра единиц искомого числа равна $y=4$.

Теперь найдем цифру десятков $x$, подставив значение $y$ в первое уравнение:

$x = y - 3 = 4 - 3 = 1$

Итак, цифра десятков равна 1, а цифра единиц — 4. Следовательно, искомое число — 14.

Выполним проверку:

1. Цифра десятков (1) действительно на 3 меньше цифры единиц (4): $1 = 4 - 3$.

2. Произведение числа (14) на сумму его цифр ($1+4=5$) равно 70: $14 \cdot 5 = 70$.

Оба условия выполняются.

Ответ: 14.