Номер 932, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

932. Существует ли значение переменной x, при котором значение квадратного трёхчлена $x^2 - 10x + 31$ равно:

a) -5;

б) 6;

в) 55?

Чтобы определить, существует ли значение переменной x, при котором квадратный трёхчлен $x^2 - 10x + 31$ принимает заданное значение, нужно приравнять трёхчлен к этому значению и проанализировать полученное квадратное уравнение. Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Также можно выделить полный квадрат, чтобы найти наименьшее значение трёхчлена:

$x^2 - 10x + 31 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 31 = (x - 5)^2 - 25 + 31 = (x - 5)^2 + 6$

Так как $(x-5)^2 \ge 0$ для любого действительного x, то наименьшее значение всего выражения равно $0 + 6 = 6$. Это означает, что значение трёхчлена не может быть меньше 6.

а)

Проверим, может ли значение трёхчлена быть равным -5. Как мы выяснили выше, наименьшее значение выражения равно 6, поэтому оно не может быть равно -5.

Проверим это с помощью уравнения:

$x^2 - 10x + 31 = -5$

$x^2 - 10x + 36 = 0$

Вычислим дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 100 - 144 = -44$

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: не существует.

б)

Проверим, может ли значение трёхчлена быть равным 6. Мы уже определили, что 6 является наименьшим значением данного трёхчлена, и оно достигается при $(x - 5)^2 = 0$, то есть при $x=5$.

Решим соответствующее уравнение:

$x^2 - 10x + 31 = 6$

$x^2 - 10x + 25 = 0$

$(x-5)^2 = 0$

$x = 5$

Уравнение имеет один действительный корень, значит, такое значение переменной x существует.

Ответ: существует.

в)

Проверим, может ли значение трёхчлена быть равным 55. Так как 55 больше наименьшего значения (6), такое значение x должно существовать. Проверим это, решив уравнение:

$x^2 - 10x + 31 = 55$

$x^2 - 10x - 24 = 0$

Вычислим дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$

Поскольку $D = 196 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Следовательно, такое значение x существует.

Ответ: существует.