Номер 935, страница 229 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

935. Решите уравнение:

а) $0,3x(x + 13) - 2x(0,9 - 0,2x) = 0;$

б) $1,5x(x + 4) - x(7 - 0,5x) = 0,5(10 - 2x);$

В) $\frac{(2x + 1)^2}{25} - \frac{x - 1}{3} = x;$

Д) $\frac{(2 - x)^2}{3} - 2x = \frac{(7 + 2x)^2}{5};$

Г) $\frac{(3x + 2)^2}{11} - \frac{x + 5}{4} = x^2;$

е) $\frac{(6 - x)^2}{8} + x = 7 - \frac{(2x - 1)^2}{3}.$

а) $0,3x(x + 13) - 2x(0,9 - 0,2x) = 0$

Раскроем скобки в уравнении:

$0,3x^2 + 0,3x \cdot 13 - 2x \cdot 0,9 - 2x \cdot (-0,2x) = 0$

$0,3x^2 + 3,9x - 1,8x + 0,4x^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(0,3x^2 + 0,4x^2) + (3,9x - 1,8x) = 0$

$0,7x^2 + 2,1x = 0$

Вынесем общий множитель $0,7x$ за скобки:

$0,7x(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Поэтому:

$0,7x = 0$ или $x + 3 = 0$

Решая каждое уравнение, получаем:

$x_1 = 0$

$x_2 = -3$

Ответ: $0; -3$.

б) $1,5x(x + 4) - x(7 - 0,5x) = 0,5(10 - 2x)$

Раскроем все скобки:

$1,5x^2 + 6x - 7x + 0,5x^2 = 5 - x$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(1,5x^2 + 0,5x^2) + (6x - 7x) = 5 - x$

$2x^2 - x = 5 - x$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числа в правую:

$2x^2 - x + x = 5$

$2x^2 = 5$

$x^2 = \frac{5}{2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{5}{2}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{2}$

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$.

в) $\frac{(2x + 1)^2}{25} - \frac{x - 1}{3} = x$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен $НОК(25, 3) = 75$:

$75 \cdot \frac{(2x + 1)^2}{25} - 75 \cdot \frac{x - 1}{3} = 75 \cdot x$

$3(2x + 1)^2 - 25(x - 1) = 75x$

Раскроем скобки:

$3(4x^2 + 4x + 1) - 25x + 25 = 75x$

$12x^2 + 12x + 3 - 25x + 25 = 75x$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

$12x^2 - 13x + 28 = 75x$

$12x^2 - 13x - 75x + 28 = 0$

$12x^2 - 88x + 28 = 0$

Разделим уравнение на 4 для упрощения:

$3x^2 - 22x + 7 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 484 - 84 = 400$

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{22 + \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{22 + 20}{6} = \frac{42}{6} = 7$

$x_2 = \frac{22 - \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{22 - 20}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $7; \frac{1}{3}$.

г) $\frac{(3x + 2)^2}{11} - \frac{x + 5}{4} = x^2$

Умножим обе части уравнения на $НОК(11, 4) = 44$:

$44 \cdot \frac{(3x + 2)^2}{11} - 44 \cdot \frac{x + 5}{4} = 44 \cdot x^2$

$4(3x + 2)^2 - 11(x + 5) = 44x^2$

Раскроем скобки:

$4(9x^2 + 12x + 4) - 11x - 55 = 44x^2$

$36x^2 + 48x + 16 - 11x - 55 = 44x^2$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в одну часть:

$36x^2 + 37x - 39 = 44x^2$

$44x^2 - 36x^2 - 37x + 39 = 0$

$8x^2 - 37x + 39 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-37)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 39 = 1369 - 1248 = 121$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{37 + \sqrt{121}}{2 \cdot 8} = \frac{37 + 11}{16} = \frac{48}{16} = 3$

$x_2 = \frac{37 - \sqrt{121}}{2 \cdot 8} = \frac{37 - 11}{16} = \frac{26}{16} = \frac{13}{8}$

Ответ: $3; \frac{13}{8}$.

д) $\frac{(2 - x)^2}{3} - 2x = \frac{(7 + 2x)^2}{5}$

Умножим обе части уравнения на $НОК(3, 5) = 15$:

$15 \cdot \frac{(2 - x)^2}{3} - 15 \cdot 2x = 15 \cdot \frac{(7 + 2x)^2}{5}$

$5(2 - x)^2 - 30x = 3(7 + 2x)^2$

Раскроем скобки:

$5(4 - 4x + x^2) - 30x = 3(49 + 28x + 4x^2)$

$20 - 20x + 5x^2 - 30x = 147 + 84x + 12x^2$

Приведем подобные слагаемые и соберем все члены в одной части:

$5x^2 - 50x + 20 = 12x^2 + 84x + 147$

$12x^2 - 5x^2 + 84x + 50x + 147 - 20 = 0$

$7x^2 + 134x + 127 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 134^2 - 4 \cdot 7 \cdot 127 = 17956 - 3556 = 14400$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-134 + \sqrt{14400}}{2 \cdot 7} = \frac{-134 + 120}{14} = \frac{-14}{14} = -1$

$x_2 = \frac{-134 - \sqrt{14400}}{2 \cdot 7} = \frac{-134 - 120}{14} = \frac{-254}{14} = -\frac{127}{7}$

Ответ: $-1; -\frac{127}{7}$.

е) $\frac{(6 - x)^2}{8} + x = 7 - \frac{(2x - 1)^2}{3}$

Перенесем дробь из правой части в левую:

$\frac{(6 - x)^2}{8} + \frac{(2x - 1)^2}{3} + x - 7 = 0$

Умножим обе части уравнения на $НОК(8, 3) = 24$:

$24 \cdot \frac{(6 - x)^2}{8} + 24 \cdot \frac{(2x - 1)^2}{3} + 24(x - 7) = 0$

$3(6 - x)^2 + 8(2x - 1)^2 + 24x - 168 = 0$

Раскроем скобки:

$3(36 - 12x + x^2) + 8(4x^2 - 4x + 1) + 24x - 168 = 0$

$108 - 36x + 3x^2 + 32x^2 - 32x + 8 + 24x - 168 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 + 32x^2) + (-36x - 32x + 24x) + (108 + 8 - 168) = 0$

$35x^2 - 44x - 52 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-44)^2 - 4 \cdot 35 \cdot (-52) = 1936 + 7280 = 9216$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{44 + \sqrt{9216}}{2 \cdot 35} = \frac{44 + 96}{70} = \frac{140}{70} = 2$

$x_2 = \frac{44 - \sqrt{9216}}{2 \cdot 35} = \frac{44 - 96}{70} = \frac{-52}{70} = -\frac{26}{35}$

Ответ: $2; -\frac{26}{35}$.