Номер 939, страница 229 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

939. Участок земли имеет форму прямоугольного треугольника, один из катетов которого на 20 м больше другого. Найдите длину границы данного участка, если его площадь равна 0,24 га.

Для решения задачи необходимо найти длину границы участка, которая представляет собой периметр прямоугольного треугольника. Периметр — это сумма длин всех его сторон.

Перевод единиц и определение переменных

В первую очередь, приведем все величины к единой системе измерений. Длины сторон измеряются в метрах (м), а площадь — в гектарах (га). Переведем площадь в квадратные метры (м²).
Известно, что 1 гектар равен 10 000 квадратных метров.
$S = 0,24 \text{ га} = 0,24 \times 10000 \text{ м²} = 2400 \text{ м²}$.
Теперь введем переменные для сторон треугольника. Пусть длина меньшего катета равна $x$ метров. По условию, другой катет на 20 м длиннее, значит, его длина составляет $(x + 20)$ метров.

Нахождение длин катетов

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) вычисляется по формуле как половина произведения его катетов ($a$ и $b$): $S = \frac{1}{2}ab$.
Подставим в формулу известные нам значения и переменные:
$2400 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 20)$.
Чтобы решить это уравнение, сначала умножим обе его части на 2:
$4800 = x(x + 20)$
Раскроем скобки:
$x^2 + 20x = 4800$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 20x - 4800 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140$.
Теперь вычислим корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80$.
Поскольку длина стороны треугольника не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -80$ не имеет физического смысла в данной задаче. Следовательно, длина меньшего катета $x = 60$ м.

Теперь мы можем найти длины обоих катетов:
Меньший катет $a = x = 60$ м.
Больший катет $b = x + 20 = 60 + 20 = 80$ м.

Нахождение длины гипотенузы

Для вычисления периметра нам также нужна длина гипотенузы ($c$). Мы можем найти ее, используя теорему Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.
$c^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000$.
$c = \sqrt{10000} = 100$ м.

Вычисление длины границы (периметра)

Длина границы участка — это его периметр ($P$), который равен сумме длин всех его сторон.
$P = a + b + c = 60 + 80 + 100 = 240$ м.

Ответ: 240 м.