Номер 944, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

944. Моторная лодка прошла 18 км по течению и 14 км против течения, затратив на весь путь 3 ч 15 мин. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки 10 км/ч.

Пусть искомая скорость течения реки равна $x$ км/ч.

Собственная скорость лодки равна 10 км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(10 + x)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки — $(10 - x)$ км/ч. Очевидно, что для движения против течения необходимо, чтобы собственная скорость лодки была больше скорости течения, то есть $x < 10$.

Время, которое лодка затратила на путь по течению, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$. В данном случае это $t_1 = \frac{18}{10 + x}$ часов.

Время, которое лодка затратила на путь против течения, составляет $t_2 = \frac{14}{10 - x}$ часов.

Общее время, затраченное на весь путь, равно 3 ч 15 мин. Переведем это значение в часы для удобства вычислений:$3 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 3 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{1}{4} \text{ ч} = \frac{12}{4} + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}$ ч.

Сумма времени движения по течению и против течения равна общему времени в пути. Составим и решим уравнение:$t_1 + t_2 = \frac{13}{4}$$\frac{18}{10 + x} + \frac{14}{10 - x} = \frac{13}{4}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(10 + x)(10 - x) = 100 - x^2$:$\frac{18(10 - x) + 14(10 + x)}{(10 + x)(10 - x)} = \frac{13}{4}$$\frac{180 - 18x + 140 + 14x}{100 - x^2} = \frac{13}{4}$$\frac{320 - 4x}{100 - x^2} = \frac{13}{4}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):$4(320 - 4x) = 13(100 - x^2)$$1280 - 16x = 1300 - 13x^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:$13x^2 - 16x + 1280 - 1300 = 0$$13x^2 - 16x - 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-16)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-20) = 256 + 1040 = 1296$$\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$

Найдем корни уравнения:$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 36}{2 \cdot 13} = \frac{52}{26} = 2$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 36}{2 \cdot 13} = \frac{-20}{26} = -\frac{10}{13}$

Скорость течения не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -\frac{10}{13}$ не подходит по смыслу задачи. Также, корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $x<10$.Следовательно, скорость течения реки равна 2 км/ч.

Проверим найденное решение:Время по течению: $\frac{18}{10 + 2} = \frac{18}{12} = 1.5$ ч.Время против течения: $\frac{14}{10 - 2} = \frac{14}{8} = 1.75$ ч.Общее время: $1.5 + 1.75 = 3.25$ ч.$3.25$ ч $= 3$ ч и $0.25 \cdot 60 = 15$ мин.Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 2 км/ч.