Номер 947, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Уравнения и системы уравнений. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 947, страница 230.

947. Сотрудник типографии должен набрать к определённому сроку рукопись объёмом 150 страниц. Если он будет набирать на 5 страниц в день больше, чем обычно, то закончит работу на 1 день раньше намеченного срока. Сколько страниц в день обычно набирает сотрудник?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество страниц, которое сотрудник обычно набирает в день. Это искомая величина.

Общий объем работы составляет 150 страниц. Следовательно, время, которое сотрудник обычно тратит на выполнение всей работы, можно выразить как отношение общего объема работы к его производительности: $t_1 = \frac{150}{x}$ дней.

По условию, если сотрудник будет набирать на 5 страниц в день больше, его новая производительность составит $x + 5$ страниц в день. В этом случае он закончит работу на 1 день раньше запланированного срока. Таким образом, новое время на выполнение работы составит $t_2 = t_1 - 1 = \frac{150}{x} - 1$ дней.

Объем работы при новой производительности остается прежним (150 страниц), поэтому мы можем составить уравнение, связывающее новую производительность и новое время:

$(x + 5) \cdot (\frac{150}{x} - 1) = 150$

Теперь необходимо решить это уравнение. Раскроем скобки в левой части:

$x \cdot \frac{150}{x} - x \cdot 1 + 5 \cdot \frac{150}{x} - 5 \cdot 1 = 150$

$150 - x + \frac{750}{x} - 5 = 150$

Вычтем 150 из обеих частей уравнения и приведем подобные слагаемые:

$-x + \frac{750}{x} - 5 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x$. Мы можем это сделать, так как количество страниц в день $x$ не может быть равно нулю.

$-x^2 + 750 - 5x = 0$

Умножим уравнение на -1 и запишем его в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 5x - 750 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-750) = 25 + 3000 = 3025$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{3025}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 55}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{3025}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 55}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

Поскольку $x$ обозначает количество страниц, набираемых в день, это значение должно быть положительным. Таким образом, корень $x_2 = -30$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи. Единственным верным решением является $x = 25$.

Проверим найденное решение. Если обычная скорость — 25 страниц в день, то на 150 страниц уйдет $150 / 25 = 6$ дней. Если скорость увеличить на 5, она станет $25 + 5 = 30$ страниц в день. Тогда работа будет выполнена за $150 / 30 = 5$ дней. Разница во времени составляет $6 - 5 = 1$ день, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 25 страниц.