Номер 949, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

949. Расстояние от станции до железнодорожной станции равно 60 км. Мотоциклист выехал из станции на $1\frac{1}{4}$ ч позже велосипедиста и прибыл на станцию, когда велосипедист был от неё в 21 км. Найдите скорость велосипедиста, если она была на 18 км/ч меньше скорости мотоциклиста.

Пусть скорость велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда, согласно условию задачи, скорость мотоциклиста на 18 км/ч больше, то есть составляет $(x + 18)$ км/ч.

Расстояние от станицы до железнодорожной станции равно 60 км. Мотоциклист проехал это расстояние полностью. Время, которое он затратил на путь, можно вычислить по формуле $t = S/v$:

$t_{мото} = \frac{60}{x+18}$ ч.

В тот момент, когда мотоциклист прибыл на станцию, велосипедист находился на расстоянии 21 км от нее. Это означает, что велосипедист проехал расстояние:

$S_{вело} = 60 - 21 = 39$ км.

Время, которое велосипедист был в пути до этого момента, составляет:

$t_{вело} = \frac{39}{x}$ ч.

По условию, мотоциклист выехал на $1\frac{1}{4}$ часа позже велосипедиста. Это означает, что время, которое велосипедист провел в пути, на $1\frac{1}{4}$ часа больше, чем время мотоциклиста. Запишем это в виде уравнения:

$t_{вело} = t_{мото} + 1\frac{1}{4}$

Подставим в это уравнение выражения для времени, которые мы нашли ранее, и преобразуем $1\frac{1}{4}$ в неправильную дробь $\frac{5}{4}$:

$\frac{39}{x} = \frac{60}{x+18} + \frac{5}{4}$

Для решения этого уравнения перенесем слагаемое с переменной в левую часть:

$\frac{39}{x} - \frac{60}{x+18} = \frac{5}{4}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+18)$:

$\frac{39(x+18) - 60x}{x(x+18)} = \frac{5}{4}$

$\frac{39x + 702 - 60x}{x^2 + 18x} = \frac{5}{4}$

$\frac{702 - 21x}{x^2 + 18x} = \frac{5}{4}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$4(702 - 21x) = 5(x^2 + 18x)$

$2808 - 84x = 5x^2 + 90x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 + 90x + 84x - 2808 = 0$

$5x^2 + 174x - 2808 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$\Delta = b^2 - 4ac = 174^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2808) = 30276 + 56160 = 86436$

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-174 \pm \sqrt{86436}}{2 \cdot 5} = \frac{-174 \pm 294}{10}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{-174 + 294}{10} = \frac{120}{10} = 12$

$x_2 = \frac{-174 - 294}{10} = \frac{-468}{10} = -46.8$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -46.8$ не является решением задачи. Следовательно, скорость велосипедиста равна 12 км/ч.

Выполним проверку.Скорость велосипедиста: 12 км/ч.Скорость мотоциклиста: $12 + 18 = 30$ км/ч.Время в пути мотоциклиста: $60 \text{ км} / 30 \text{ км/ч} = 2$ ч.Велосипедист был в пути на $1\frac{1}{4}$ ч дольше, то есть $2 + 1.25 = 3.25$ ч.За это время велосипедист проехал: $12 \text{ км/ч} \times 3.25 \text{ ч} = 39$ км.Расстояние от велосипедиста до станции: $60 - 39 = 21$ км.Все условия задачи выполняются.

Ответ: 12 км/ч.