Номер 956, страница 231 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

956. Решите графически уравнение:

а) $x^3 = 7x - 6;$

б) $\frac{6}{x} = 0,5x - 2;$

в) $\frac{4}{x} = x^2 - 2x;$

г) $\sqrt{x} = x^3.$

а) $x^3 = 7x - 6$

Чтобы решить уравнение графически, представим его в виде равенства двух функций. Решениями исходного уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков этих функций.

Рассмотрим две функции: $y = x^3$ и $y = 7x - 6$.

1. Построим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Для построения найдем несколько точек:

• при $x = 0$, $y = 0^3 = 0$; (0, 0)
• при $x = 1$, $y = 1^3 = 1$; (1, 1)
• при $x = 2$, $y = 2^3 = 8$; (2, 8)
• при $x = -1$, $y = (-1)^3 = -1$; (-1, -1)
• при $x = -2$, $y = (-2)^3 = -8$; (-2, -8)
• при $x = -3$, $y = (-3)^3 = -27$; (-3, -27)

2. Построим график функции $y = 7x - 6$. Это прямая. Для построения достаточно двух точек:

• при $x = 0$, $y = 7 \cdot 0 - 6 = -6$; (0, -6)
• при $x = 1$, $y = 7 \cdot 1 - 6 = 1$; (1, 1)

3. Построим оба графика в одной системе координат. Мы видим три точки пересечения. Найдем их координаты. Проверяя точки, которые мы использовали для построения, можно заметить, что некоторые из них являются общими для обоих графиков:

• Точка (1, 1): $1^3 = 1$ и $7 \cdot 1 - 6 = 1$. Следовательно, $x=1$ — корень уравнения.
• Точка (2, 8): $2^3 = 8$ и $7 \cdot 2 - 6 = 14 - 6 = 8$. Следовательно, $x=2$ — корень уравнения.
• Проверим точку с $x = -3$ для прямой: $y = 7(-3) - 6 = -21 - 6 = -27$. Эта точка $(-3, -27)$ также принадлежит графику $y=x^3$. Следовательно, $x=-3$ — корень уравнения.

Графики пересекаются в трех точках, абсциссы которых равны -3, 1 и 2.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 1, x_3 = 2$.

б) $\frac{6}{x} = 0,5x - 2$

Представим уравнение в виде равенства двух функций: $y = \frac{6}{x}$ и $y = 0,5x - 2$. Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения их графиков.

1. Построим график функции $y = \frac{6}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Область определения: $x \neq 0$. Составим таблицу значений:

• $x=1, y=6$
• $x=2, y=3$
• $x=3, y=2$
• $x=6, y=1$
• $x=-1, y=-6$
• $x=-2, y=-3$
• $x=-3, y=-2$
• $x=-6, y=-1$

2. Построим график функции $y = 0,5x - 2$. Это прямая. Для построения найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = 0,5 \cdot 0 - 2 = -2$; (0, -2)
• при $x = 4$, $y = 0,5 \cdot 4 - 2 = 0$; (4, 0)

3. Построим графики в одной системе координат. Графики пересекаются в двух точках. Найдем их координаты:

• Первая точка пересечения имеет координаты (6, 1). Проверим: $\frac{6}{6} = 1$ и $0,5 \cdot 6 - 2 = 3 - 2 = 1$. Значит, $x=6$ является корнем уравнения.
• Вторая точка пересечения имеет координаты (-2, -3). Проверим: $\frac{6}{-2} = -3$ и $0,5 \cdot (-2) - 2 = -1 - 2 = -3$. Значит, $x=-2$ является корнем уравнения.

Абсциссы точек пересечения - это решения уравнения.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 6$.

в) $\frac{4}{x} = x^2 - 2x$

Представим уравнение в виде равенства двух функций: $y = \frac{4}{x}$ и $y = x^2 - 2x$. Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения их графиков.

1. Построим график функции $y = \frac{4}{x}$. Это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Область определения: $x \neq 0$. Некоторые точки графика: (1, 4), (2, 2), (4, 1), (-1, -4), (-2, -2).

2. Построим график функции $y = x^2 - 2x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$; $y_v = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$. Вершина находится в точке (1, -1). Парабола пересекает ось Ox в точках, где $x^2-2x = 0 \Rightarrow x(x-2)=0$, то есть в точках (0, 0) и (2, 0).

3. Построим графики в одной системе координат.

• При $x < 0$ график функции $y = \frac{4}{x}$ лежит в III четверти (y < 0), а график функции $y = x^2 - 2x = x(x-2)$ лежит во II четверти (y > 0), так как оба множителя $x$ и $x-2$ отрицательны. Следовательно, при $x < 0$ пересечений нет.
• При $x > 0$ ветвь гиперболы лежит в I четверти. Парабола проходит через точки (0,0), (1, -1) и (2,0), а затем уходит вверх. В точке $x=2$ значение гиперболы $y=\frac{4}{2}=2$, а значение параболы $y=0$. При $x>2$ обе функции возрастают, но парабола растет быстрее. Так как в точке $x=2$ значение гиперболы больше значения параболы, а при больших $x$ парабола обгонит гиперболу, графики должны пересечься в одной точке при $x>2$.

Из графика видно, что точка пересечения одна, и ее абсцисса находится между 2 и 3. Приблизительное значение можно оценить, подставив значения. Например, при $x=2,6$: $y = \frac{4}{2,6} \approx 1,54$ и $y = (2,6)^2 - 2 \cdot 2,6 = 6,76 - 5,2 = 1,56$. Значения очень близки, так что абсцисса точки пересечения примерно равна 2,6.

Ответ: $x \approx 2,6$.

г) $\sqrt{x} = x^3$

Представим уравнение в виде равенства двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = x^3$. Область допустимых значений для этого уравнения определяется условием $x \ge 0$.

1. Построим график функции $y = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. График проходит через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

2. Построим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола. Так как $x \ge 0$, мы рассматриваем только ее правую ветвь. График проходит через точки (0, 0), (1, 1), (2, 8).

3. Построим оба графика в одной системе координат (только для $x \ge 0$).

Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках:

• Точка (0, 0): $\sqrt{0}=0$ и $0^3=0$. Следовательно, $x=0$ — корень уравнения.
• Точка (1, 1): $\sqrt{1}=1$ и $1^3=1$. Следовательно, $x=1$ — корень уравнения.

При $0 < x < 1$ график $y=\sqrt{x}$ лежит выше графика $y=x^3$ (например, при $x=1/4$, $\sqrt{x}=1/2$, а $x^3=1/64$). При $x>1$ график $y=x^3$ лежит выше графика $y=\sqrt{x}$ (например, при $x=4$, $\sqrt{x}=2$, а $x^3=64$). Других точек пересечения нет.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.