Номер 955, страница 231 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

955. Изобразив схематически графики, выясните, имеет ли уравнение корни:

а) $\frac{1}{2}x - 2 = x^3;$

б) $-3x - 1 = \sqrt{x};$

в) $\frac{1}{x} = -x^2 + 1;$

г) $3 + x^2 = \frac{12}{x}.$

а) Для того чтобы выяснить, имеет ли уравнение $ \frac{1}{2}x - 2 = x^3 $ корни, рассмотрим графики двух функций: $ y = \frac{1}{2}x - 2 $ и $ y = x^3 $.
1. График функции $ y = \frac{1}{2}x - 2 $ — это прямая. Для ее построения найдем две точки:

• Если $ x = 0 $, то $ y = -2 $. Точка (0, -2).
• Если $ x = 4 $, то $ y = \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 = 0 $. Точка (4, 0).

2. График функции $ y = x^3 $ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат (0, 0) и расположенная в первом и третьем координатных квадрантах.
Схематически изобразив графики, мы видим, что прямая и кубическая парабола пересекаются. При $ x \to -\infty $ прямая находится выше параболы, а при $ x \to +\infty $ — ниже. Поскольку обе функции непрерывны, их графики должны пересечься. Так как прямая возрастает медленнее, чем кубическая парабола, у них будет только одна точка пересечения.
Ответ: уравнение имеет один корень.

б) Рассмотрим уравнение $ -3x - 1 = \sqrt{x} $. Построим графики функций $ y = -3x - 1 $ и $ y = \sqrt{x} $.
1. График функции $ y = \sqrt{x} $ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Область определения этой функции $ D(y): x \ge 0 $. Область значений $ E(y): y \ge 0 $.
2. График функции $ y = -3x - 1 $ — это прямая, проходящая через точки (0, -1) и (-1/3, 0).
Для того чтобы уравнение имело решение, левая и правая части должны быть равны. Так как $ \sqrt{x} \ge 0 $, то и левая часть должна быть неотрицательной: $ -3x - 1 \ge 0 $, что означает $ -3x \ge 1 $, или $ x \le -\frac{1}{3} $.
Таким образом, мы имеем два условия: $ x \ge 0 $ (из области определения корня) и $ x \le -\frac{1}{3} $ (из области значений корня). Эти два условия не могут выполняться одновременно. Следовательно, графики функций не пересекаются.
Схематически, график $ y=\sqrt{x} $ расположен в первом квадранте, а прямая $ y=-3x-1 $ в области $ x \ge 0 $ полностью находится в четвертом квадранте. Точек пересечения нет.
Ответ: уравнение не имеет корней.

в) Рассмотрим уравнение $ \frac{1}{x} = -x^2 + 1 $. Построим графики функций $ y = \frac{1}{x} $ и $ y = -x^2 + 1 $.
1. График функции $ y = \frac{1}{x} $ — это гипербола с ветвями в первом и третьем координатных квадрантах. Область определения $ x \ne 0 $.
2. График функции $ y = -x^2 + 1 $ — это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (0, 1).
Рассмотрим две области:

• При $ x > 0 $: ветвь гиперболы находится в первом квадранте. Парабола также проходит здесь. При $ x \to 0^+ $, гипербола $ y \to +\infty $, а парабола $ y \to 1 $. При $ x=1 $, гипербола $ y=1 $, а парабола $ y=0 $. Можно показать, что для $ x>0 $ всегда $ \frac{1}{x} > -x^2+1 $, поэтому пересечений в этой области нет.
• При $ x < 0 $: ветвь гиперболы находится в третьем квадранте (всегда $ y < 0 $). Парабола при $ x < -1 $ также принимает отрицательные значения. Например, при $ x=-1 $ гипербола $ y=-1 $, а парабола $ y=0 $. При $ x=-2 $ гипербола $ y=-0.5 $, а парабола $ y=-3 $. Поскольку при $ x=-1 $ парабола выше гиперболы, а при $ x=-2 $ — ниже, и обе функции непрерывны на интервале $ (-\infty, 0) $, их графики должны пересечься на интервале (-2, -1). Это и будет единственная точка пересечения.

Ответ: уравнение имеет один корень.

г) Рассмотрим уравнение $ 3 + x^2 = \frac{12}{x} $. Построим графики функций $ y = 3 + x^2 $ и $ y = \frac{12}{x} $.
1. График функции $ y = 3 + x^2 $ — это парабола с ветвями вверх, смещенная на 3 единицы вверх по оси Oy. Вершина параболы находится в точке (0, 3). Все значения функции положительны и не меньше 3 ($ y \ge 3 $).
2. График функции $ y = \frac{12}{x} $ — это гипербола с ветвями в первом и третьем квадрантах.
Рассмотрим две области:

• При $ x < 0 $: значения функции $ y = 3 + x^2 $ всегда положительны, а значения функции $ y = \frac{12}{x} $ всегда отрицательны. Следовательно, в этой области графики не могут пересечься.
• При $ x > 0 $: обе функции положительны. Функция $ y = 3 + x^2 $ возрастает, а функция $ y = \frac{12}{x} $ убывает. Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке. Проверим, есть ли пересечение: при $ x = 1 $ парабола $ y = 4 $, а гипербола $ y = 12 $; при $ x = 2 $ парабола $ y = 7 $, а гипербола $ y = 6 $. Так как в точке $ x=1 $ график параболы ниже графика гиперболы, а в точке $ x=2 $ — выше, то на интервале (1, 2) должно быть пересечение.

Ответ: уравнение имеет один корень.