Номер 958, страница 231 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

958. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} \frac{2x - y}{3} - \frac{x - 2y}{2} = \frac{3}{2}, \\ \frac{2x + y}{2} - \frac{x + 2y}{3} = \frac{1}{3}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x - y + 1}{2} + \frac{x + y - 1}{5} = 7, \\ \frac{x - y + 1}{3} - \frac{x + y - 1}{4} = -3. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{2x - y}{3} - \frac{x - 2y}{2} = \frac{3}{2} \\ \frac{2x + y}{2} - \frac{x + 2y}{3} = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Сначала упростим каждое уравнение системы, приведя дроби к общему знаменателю.

Для первого уравнения общий знаменатель равен 6. Умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot \frac{2x - y}{3} - 6 \cdot \frac{x - 2y}{2} = 6 \cdot \frac{3}{2}$

$2(2x - y) - 3(x - 2y) = 9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4x - 2y - 3x + 6y = 9$

$x + 4y = 9$

Для второго уравнения общий знаменатель также равен 6. Умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot \frac{2x + y}{2} - 6 \cdot \frac{x + 2y}{3} = 6 \cdot \frac{1}{3}$

$3(2x + y) - 2(x + 2y) = 2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$6x + 3y - 2x - 4y = 2$

$4x - y = 2$

В результате мы получили более простую систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x + 4y = 9 \\ 4x - y = 2 \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 9 - 4y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение:

$4(9 - 4y) - y = 2$

$36 - 16y - y = 2$

$36 - 17y = 2$

$-17y = 2 - 36$

$-17y = -34$

$y = 2$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y=2$ в выражение для $x$:

$x = 9 - 4(2) = 9 - 8 = 1$

Таким образом, решение системы: $x=1, y=2$.

Ответ: $(1; 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x - y + 1}{2} + \frac{x + y - 1}{5} = 7 \\ \frac{x - y + 1}{3} - \frac{x + y - 1}{4} = -3 \end{cases} $$

Чтобы упростить систему, введем новые переменные. Пусть $a = x - y + 1$ и $b = x + y - 1$.

Подставив новые переменные, получим систему:

$$ \begin{cases} \frac{a}{2} + \frac{b}{5} = 7 \\ \frac{a}{3} - \frac{b}{4} = -3 \end{cases} $$

Решим эту систему относительно $a$ и $b$. Умножим первое уравнение на 10 (наименьшее общее кратное для 2 и 5), а второе на 12 (наименьшее общее кратное для 3 и 4):

$$ \begin{cases} 5a + 2b = 70 \\ 4a - 3b = -36 \end{cases} $$

Решим полученную систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при переменной $b$ стали противоположными числами:

$$ \begin{cases} 15a + 6b = 210 \\ 8a - 6b = -72 \end{cases} $$

Сложим почленно уравнения системы:

$(15a + 8a) + (6b - 6b) = 210 - 72$

$23a = 138$

$a = \frac{138}{23} = 6$

Подставим найденное значение $a=6$ в уравнение $5a + 2b = 70$:

$5(6) + 2b = 70$

$30 + 2b = 70$

$2b = 40$

$b = 20$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x - y + 1 = 6 \\ x + y - 1 = 20 \end{cases} $$

Перенесем свободные члены в правую часть:

$$ \begin{cases} x - y = 5 \\ x + y = 21 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$(x - y) + (x + y) = 5 + 21$

$2x = 26$

$x = 13$

Подставим значение $x=13$ в уравнение $x + y = 21$:

$13 + y = 21$

$y = 21 - 13 = 8$

Таким образом, решение системы: $x=13, y=8$.

Ответ: $(13; 8)$.