Номер 951, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

951. Решите уравнение:

a) $4x^4 - 17x^2 + 4 = 0$;

б) $9x^4 + 77x^2 - 36 = 0$;

в) $2x^4 - 9x^2 - 5 = 0$;

г) $6x^4 - 5x^2 - 1 = 0$.

а) $4x^4 - 17x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$, при этом должно выполняться условие $y \ge 0$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $y$:

$4y^2 - 17y + 4 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$

Найдем корни уравнения для $y$ по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$y_2 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Оба корня ($4$ и $\frac{1}{4}$) удовлетворяют условию $y \ge 0$. Вернемся к исходной переменной $x$.

1) Если $y = 4$, то $x^2 = 4$, откуда $x_{1,2} = \pm\sqrt{4} = \pm 2$.

2) Если $y = \frac{1}{4}$, то $x^2 = \frac{1}{4}$, откуда $x_{3,4} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$.

Ответ: $\pm 2; \pm \frac{1}{2}$.

б) $9x^4 + 77x^2 - 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $9y^2 + 77y - 36 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = 77^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 5929 + 1296 = 7225$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-77 + \sqrt{7225}}{2 \cdot 9} = \frac{-77 + 85}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

$y_2 = \frac{-77 - \sqrt{7225}}{2 \cdot 9} = \frac{-77 - 85}{18} = \frac{-162}{18} = -9$

Корень $y_2 = -9$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим корень $y_1 = \frac{4}{9}$. Вернемся к замене:

$x^2 = \frac{4}{9}$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{4}{9}} = \pm \frac{2}{3}$

Ответ: $\pm \frac{2}{3}$.

в) $2x^4 - 9x^2 - 5 = 0$

Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Уравнение примет вид: $2y^2 - 9y - 5 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$y_2 = \frac{9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 11}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Корень $y_2 = -\frac{1}{2}$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому отбрасываем его.

Остается корень $y_1 = 5$. Сделаем обратную замену:

$x^2 = 5$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{5}$

Ответ: $\pm \sqrt{5}$.

г) $6x^4 - 5x^2 - 1 = 0$

Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $6y^2 - 5y - 1 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$

$y_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

Корень $y_2 = -\frac{1}{6}$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим корень $y_1 = 1$. Вернемся к замене:

$x^2 = 1$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{1} = \pm 1$

Ответ: $\pm 1$.