Номер 948, страница 230 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

948. Турист отправился на автомашине из города A в город B. Первые 75 км он ехал со скоростью, на 10 км/ч меньшей, чем рассчитывал, а остальной путь со скоростью, на 10 км/ч большей, чем рассчитывал. В город B, который удалён от города A на 180 км, турист прибыл вовремя. С какой скоростью он ехал в конце пути?

Пусть $v$ км/ч — это расчетная (планируемая) скорость туриста.

Первые 75 км турист ехал со скоростью на 10 км/ч меньше расчетной, то есть его скорость была $v - 10$ км/ч. Время, затраченное на этот участок пути, составляет $t_1 = \frac{75}{v - 10}$ ч.

Остальной путь составляет $180 - 75 = 105$ км. Этот участок турист проехал со скоростью на 10 км/ч больше расчетной, то есть $v + 10$ км/ч. Время, затраченное на второй участок пути, составляет $t_2 = \frac{105}{v + 10}$ ч.

Общее время в пути составило $t_{факт} = t_1 + t_2 = \frac{75}{v - 10} + \frac{105}{v + 10}$ ч.

По плану турист должен был проехать все 180 км со скоростью $v$ км/ч. Планируемое время в пути составляет $t_{план} = \frac{180}{v}$ ч.

По условию задачи турист прибыл в город В вовремя, это значит, что фактическое время в пути равно планируемому:

$t_{факт} = t_{план}$

$\frac{75}{v - 10} + \frac{105}{v + 10} = \frac{180}{v}$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 15 (наибольший общий делитель чисел 75, 105 и 180):

$\frac{5}{v - 10} + \frac{7}{v + 10} = \frac{12}{v}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{5(v + 10) + 7(v - 10)}{(v - 10)(v + 10)} = \frac{12}{v}$

$\frac{5v + 50 + 7v - 70}{v^2 - 100} = \frac{12}{v}$

$\frac{12v - 20}{v^2 - 100} = \frac{12}{v}$

Воспользуемся свойством пропорции (при условии, что $v \neq 0$, $v \neq 10$ и $v \neq -10$):

$v(12v - 20) = 12(v^2 - 100)$

$12v^2 - 20v = 12v^2 - 1200$

Вычтем $12v^2$ из обеих частей уравнения:

$-20v = -1200$

$v = \frac{-1200}{-20} = 60$

Таким образом, расчетная скорость туриста составляла 60 км/ч.

Вопрос задачи — с какой скоростью он ехал в конце пути. В конце пути его скорость была на 10 км/ч больше расчетной:

$v_{конец} = v + 10 = 60 + 10 = 70$ км/ч.

Ответ: 70 км/ч.