Номер 941, страница 229 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

941. Две бригады, работая вместе, выполняют работу за 6 ч. Одной первой бригаде на ту же работу требуется на 5 ч больше, чем второй. За какое время может выполнить всю работу каждая бригада, работая отдельно?

Пусть вся работа принимается за 1 (единицу).

Пусть время, за которое вторая бригада выполнит всю работу самостоятельно, равно $x$ часов.

Тогда производительность второй бригады (часть работы, выполняемая за 1 час) составляет $\frac{1}{x}$.

Согласно условию, первой бригаде на выполнение той же работы требуется на 5 часов больше, чем второй. Следовательно, время работы первой бригады равно $(x+5)$ часов.

Производительность первой бригады составляет $\frac{1}{x+5}$.

Когда бригады работают вместе, их производительности складываются. Общая производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $P_{общая} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}$.

По условию, работая вместе, две бригады выполняют работу за 6 часов. Это означает, что их общая производительность равна $\frac{1}{6}$ работы в час.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общей производительности: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$: $\frac{x+5}{x(x+5)} + \frac{x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{x+5+x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение): $6(2x+5) = 1(x^2+5x)$

$12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$

$x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7+13}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7-13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Поскольку $x$ обозначает время, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -3$ не является решением задачи.

Таким образом, время выполнения работы второй бригадой составляет $x = 10$ часов.

Время выполнения работы первой бригадой составляет $x+5 = 10+5 = 15$ часов.

Ответ: первая бригада может выполнить работу за 15 часов, а вторая бригада — за 10 часов.