Номер 934, страница 229 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

934. При каких значениях k уравнение не имеет корней:

а) $kx^2 + 8x - 15 = 0$;

б) $6x^2 - 3x + k = 0$;

в) $5x^2 + kx + 1 = 0$;

г) $7x^2 - kx - 1 = 0$?

Уравнение не имеет действительных корней в двух случаях:

1. Если уравнение квадратное (вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$), то оно не имеет корней, когда его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен ($D < 0$).
2. Если коэффициент при $x^2$ равен нулю, уравнение может стать линейным (вида $bx + c = 0$). Такое уравнение не имеет корней, если $b = 0$, а $c \neq 0$.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

а) $kx^2 + 8x - 15 = 0$

Сначала рассмотрим случай, когда уравнение не является квадратным, то есть когда коэффициент при $x^2$ равен нулю.
Если $k = 0$, уравнение принимает вид: $8x - 15 = 0$.
Это линейное уравнение, которое имеет один корень $x = 15/8$. Следовательно, $k=0$ не является решением.

Теперь рассмотрим случай, когда $k \neq 0$. Уравнение является квадратным.
Коэффициенты уравнения: $a = k$, $b = 8$, $c = -15$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot k \cdot (-15) = 64 + 60k$.

Уравнение не имеет корней, если дискриминант отрицателен, то есть $D < 0$.
$64 + 60k < 0$
$60k < -64$
$k < -64/60$
$k < -16/15$

Ответ: при $k < -16/15$.

б) $6x^2 - 3x + k = 0$

Это уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен $6$, что не равно нулю.
Коэффициенты: $a = 6$, $b = -3$, $c = k$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 6 \cdot k = 9 - 24k$.

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$.
$9 - 24k < 0$
$9 < 24k$
$k > 9/24$
$k > 3/8$

Ответ: при $k > 3/8$.

в) $5x^2 + kx + 1 = 0$

Это уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен $5$, что не равно нулю.
Коэффициенты: $a = 5$, $b = k$, $c = 1$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = k^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = k^2 - 20$.

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$.
$k^2 - 20 < 0$
$k^2 < 20$
Это неравенство выполняется, когда $-\sqrt{20} < k < \sqrt{20}$.
Так как $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$, получаем $-2\sqrt{5} < k < 2\sqrt{5}$.

Ответ: при $k \in (-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5})$.

г) $7x^2 - kx - 1 = 0$

Это уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен $7$, что не равно нулю.
Коэффициенты: $a = 7$, $b = -k$, $c = -1$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = k^2 + 28$.

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$.
$k^2 + 28 < 0$
$k^2 < -28$

Квадрат любого действительного числа $k$ всегда неотрицателен, то есть $k^2 \ge 0$. Поэтому неравенство $k^2 < -28$ не имеет решений. Дискриминант $D = k^2 + 28$ всегда строго положителен ($D \ge 28 > 0$) для любого значения $k$. Следовательно, данное уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Ответ: таких значений $k$ не существует.