Номер 933, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

933. При каких значениях m уравнение имеет хотя бы один корень:

а) $10x^2 - 10x + m = 0;$

б) $mx^2 + 4x - 2 = 0;$

в) $3x^2 + mx - 5 = 0;$

г) $2x^2 - mx + 2 = 0?$

Для того чтобы уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицателен ($D \ge 0$) в случае квадратного уравнения, либо чтобы уравнение было линейным и имело решение.

а) $10x^2 - 10x + m = 0$

Это квадратное уравнение, так как коэффициент при $x^2$ равен 10. Оно имеет хотя бы один корень, если его дискриминант $D \ge 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=10$, $b=-10$, $c=m$.

Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 10 \cdot m = 100 - 40m$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$100 - 40m \ge 0$

$100 \ge 40m$

$m \le \frac{100}{40}$

$m \le 2.5$

Ответ: $m \in (-\infty; 2.5]$.

б) $mx^2 + 4x - 2 = 0$

В этом уравнении коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $m$. Рассмотрим два случая.

1. Если $m = 0$, уравнение становится линейным:

$0 \cdot x^2 + 4x - 2 = 0$

$4x = 2$

$x = 0.5$

Уравнение имеет один корень, что удовлетворяет условию. Значит, $m=0$ является решением.

2. Если $m \ne 0$, уравнение является квадратным. Оно имеет хотя бы один корень при $D \ge 0$.

Коэффициенты: $a=m$, $b=4$, $c=-2$.

$D = 4^2 - 4 \cdot m \cdot (-2) = 16 + 8m$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$16 + 8m \ge 0$

$8m \ge -16$

$m \ge -2$

С учетом условия $m \ne 0$, получаем $m \in [-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

Объединяя результаты обоих случаев ($m=0$ и $m \in [-2; 0) \cup (0; +\infty)$), получаем итоговый промежуток для $m$.

Ответ: $m \in [-2; +\infty)$.

в) $3x^2 + mx - 5 = 0$

Это квадратное уравнение, так как коэффициент при $x^2$ равен 3. Оно имеет хотя бы один корень при $D \ge 0$.

Коэффициенты: $a=3$, $b=m$, $c=-5$.

$D = m^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = m^2 + 60$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$m^2 + 60 \ge 0$.

Поскольку $m^2$ всегда неотрицательно ($m^2 \ge 0$) для любого действительного $m$, то выражение $m^2 + 60$ всегда будет положительным (как минимум 60). Неравенство $m^2 + 60 \ge 0$ выполняется для любых значений $m$.

Следовательно, уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Ответ: $m \in (-\infty; +\infty)$.

г) $2x^2 - mx + 2 = 0$

Это квадратное уравнение, так как коэффициент при $x^2$ равен 2. Оно имеет хотя бы один корень при $D \ge 0$.

Коэффициенты: $a=2$, $b=-m$, $c=2$.

$D = (-m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = m^2 - 16$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$m^2 - 16 \ge 0$

$(m-4)(m+4) \ge 0$

Решением этого неравенства являются значения $m$, которые меньше или равны $-4$, а также значения $m$, которые больше или равны 4.

Ответ: $m \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.