Страница 229 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

934. При каких значениях k уравнение не имеет корней:

а) $kx^2 + 8x - 15 = 0$;

б) $6x^2 - 3x + k = 0$;

в) $5x^2 + kx + 1 = 0$;

г) $7x^2 - kx - 1 = 0$?

Уравнение не имеет действительных корней в двух случаях:

1. Если уравнение квадратное (вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$), то оно не имеет корней, когда его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен ($D < 0$).
2. Если коэффициент при $x^2$ равен нулю, уравнение может стать линейным (вида $bx + c = 0$). Такое уравнение не имеет корней, если $b = 0$, а $c \neq 0$.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

а) $kx^2 + 8x - 15 = 0$

Сначала рассмотрим случай, когда уравнение не является квадратным, то есть когда коэффициент при $x^2$ равен нулю.
Если $k = 0$, уравнение принимает вид: $8x - 15 = 0$.
Это линейное уравнение, которое имеет один корень $x = 15/8$. Следовательно, $k=0$ не является решением.

Теперь рассмотрим случай, когда $k \neq 0$. Уравнение является квадратным.
Коэффициенты уравнения: $a = k$, $b = 8$, $c = -15$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot k \cdot (-15) = 64 + 60k$.

Уравнение не имеет корней, если дискриминант отрицателен, то есть $D < 0$.
$64 + 60k < 0$
$60k < -64$
$k < -64/60$
$k < -16/15$

Ответ: при $k < -16/15$.

б) $6x^2 - 3x + k = 0$

Это уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен $6$, что не равно нулю.
Коэффициенты: $a = 6$, $b = -3$, $c = k$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 6 \cdot k = 9 - 24k$.

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$.
$9 - 24k < 0$
$9 < 24k$
$k > 9/24$
$k > 3/8$

Ответ: при $k > 3/8$.

в) $5x^2 + kx + 1 = 0$

Это уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен $5$, что не равно нулю.
Коэффициенты: $a = 5$, $b = k$, $c = 1$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = k^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = k^2 - 20$.

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$.
$k^2 - 20 < 0$
$k^2 < 20$
Это неравенство выполняется, когда $-\sqrt{20} < k < \sqrt{20}$.
Так как $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$, получаем $-2\sqrt{5} < k < 2\sqrt{5}$.

Ответ: при $k \in (-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5})$.

г) $7x^2 - kx - 1 = 0$

Это уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен $7$, что не равно нулю.
Коэффициенты: $a = 7$, $b = -k$, $c = -1$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = k^2 + 28$.

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$.
$k^2 + 28 < 0$
$k^2 < -28$

Квадрат любого действительного числа $k$ всегда неотрицателен, то есть $k^2 \ge 0$. Поэтому неравенство $k^2 < -28$ не имеет решений. Дискриминант $D = k^2 + 28$ всегда строго положителен ($D \ge 28 > 0$) для любого значения $k$. Следовательно, данное уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Ответ: таких значений $k$ не существует.

935. Решите уравнение:

а) $0,3x(x + 13) - 2x(0,9 - 0,2x) = 0;$

б) $1,5x(x + 4) - x(7 - 0,5x) = 0,5(10 - 2x);$

В) $\frac{(2x + 1)^2}{25} - \frac{x - 1}{3} = x;$

Д) $\frac{(2 - x)^2}{3} - 2x = \frac{(7 + 2x)^2}{5};$

Г) $\frac{(3x + 2)^2}{11} - \frac{x + 5}{4} = x^2;$

е) $\frac{(6 - x)^2}{8} + x = 7 - \frac{(2x - 1)^2}{3}.$

а) $0,3x(x + 13) - 2x(0,9 - 0,2x) = 0$

Раскроем скобки в уравнении:

$0,3x^2 + 0,3x \cdot 13 - 2x \cdot 0,9 - 2x \cdot (-0,2x) = 0$

$0,3x^2 + 3,9x - 1,8x + 0,4x^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(0,3x^2 + 0,4x^2) + (3,9x - 1,8x) = 0$

$0,7x^2 + 2,1x = 0$

Вынесем общий множитель $0,7x$ за скобки:

$0,7x(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Поэтому:

$0,7x = 0$ или $x + 3 = 0$

Решая каждое уравнение, получаем:

$x_1 = 0$

$x_2 = -3$

Ответ: $0; -3$.

б) $1,5x(x + 4) - x(7 - 0,5x) = 0,5(10 - 2x)$

Раскроем все скобки:

$1,5x^2 + 6x - 7x + 0,5x^2 = 5 - x$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(1,5x^2 + 0,5x^2) + (6x - 7x) = 5 - x$

$2x^2 - x = 5 - x$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числа в правую:

$2x^2 - x + x = 5$

$2x^2 = 5$

$x^2 = \frac{5}{2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{5}{2}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{2}$

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$.

в) $\frac{(2x + 1)^2}{25} - \frac{x - 1}{3} = x$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен $НОК(25, 3) = 75$:

$75 \cdot \frac{(2x + 1)^2}{25} - 75 \cdot \frac{x - 1}{3} = 75 \cdot x$

$3(2x + 1)^2 - 25(x - 1) = 75x$

Раскроем скобки:

$3(4x^2 + 4x + 1) - 25x + 25 = 75x$

$12x^2 + 12x + 3 - 25x + 25 = 75x$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

$12x^2 - 13x + 28 = 75x$

$12x^2 - 13x - 75x + 28 = 0$

$12x^2 - 88x + 28 = 0$

Разделим уравнение на 4 для упрощения:

$3x^2 - 22x + 7 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 484 - 84 = 400$

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{22 + \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{22 + 20}{6} = \frac{42}{6} = 7$

$x_2 = \frac{22 - \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{22 - 20}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $7; \frac{1}{3}$.

г) $\frac{(3x + 2)^2}{11} - \frac{x + 5}{4} = x^2$

Умножим обе части уравнения на $НОК(11, 4) = 44$:

$44 \cdot \frac{(3x + 2)^2}{11} - 44 \cdot \frac{x + 5}{4} = 44 \cdot x^2$

$4(3x + 2)^2 - 11(x + 5) = 44x^2$

Раскроем скобки:

$4(9x^2 + 12x + 4) - 11x - 55 = 44x^2$

$36x^2 + 48x + 16 - 11x - 55 = 44x^2$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в одну часть:

$36x^2 + 37x - 39 = 44x^2$

$44x^2 - 36x^2 - 37x + 39 = 0$

$8x^2 - 37x + 39 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-37)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 39 = 1369 - 1248 = 121$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{37 + \sqrt{121}}{2 \cdot 8} = \frac{37 + 11}{16} = \frac{48}{16} = 3$

$x_2 = \frac{37 - \sqrt{121}}{2 \cdot 8} = \frac{37 - 11}{16} = \frac{26}{16} = \frac{13}{8}$

Ответ: $3; \frac{13}{8}$.

д) $\frac{(2 - x)^2}{3} - 2x = \frac{(7 + 2x)^2}{5}$

Умножим обе части уравнения на $НОК(3, 5) = 15$:

$15 \cdot \frac{(2 - x)^2}{3} - 15 \cdot 2x = 15 \cdot \frac{(7 + 2x)^2}{5}$

$5(2 - x)^2 - 30x = 3(7 + 2x)^2$

Раскроем скобки:

$5(4 - 4x + x^2) - 30x = 3(49 + 28x + 4x^2)$

$20 - 20x + 5x^2 - 30x = 147 + 84x + 12x^2$

Приведем подобные слагаемые и соберем все члены в одной части:

$5x^2 - 50x + 20 = 12x^2 + 84x + 147$

$12x^2 - 5x^2 + 84x + 50x + 147 - 20 = 0$

$7x^2 + 134x + 127 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 134^2 - 4 \cdot 7 \cdot 127 = 17956 - 3556 = 14400$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-134 + \sqrt{14400}}{2 \cdot 7} = \frac{-134 + 120}{14} = \frac{-14}{14} = -1$

$x_2 = \frac{-134 - \sqrt{14400}}{2 \cdot 7} = \frac{-134 - 120}{14} = \frac{-254}{14} = -\frac{127}{7}$

Ответ: $-1; -\frac{127}{7}$.

е) $\frac{(6 - x)^2}{8} + x = 7 - \frac{(2x - 1)^2}{3}$

Перенесем дробь из правой части в левую:

$\frac{(6 - x)^2}{8} + \frac{(2x - 1)^2}{3} + x - 7 = 0$

Умножим обе части уравнения на $НОК(8, 3) = 24$:

$24 \cdot \frac{(6 - x)^2}{8} + 24 \cdot \frac{(2x - 1)^2}{3} + 24(x - 7) = 0$

$3(6 - x)^2 + 8(2x - 1)^2 + 24x - 168 = 0$

Раскроем скобки:

$3(36 - 12x + x^2) + 8(4x^2 - 4x + 1) + 24x - 168 = 0$

$108 - 36x + 3x^2 + 32x^2 - 32x + 8 + 24x - 168 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 + 32x^2) + (-36x - 32x + 24x) + (108 + 8 - 168) = 0$

$35x^2 - 44x - 52 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-44)^2 - 4 \cdot 35 \cdot (-52) = 1936 + 7280 = 9216$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{44 + \sqrt{9216}}{2 \cdot 35} = \frac{44 + 96}{70} = \frac{140}{70} = 2$

$x_2 = \frac{44 - \sqrt{9216}}{2 \cdot 35} = \frac{44 - 96}{70} = \frac{-52}{70} = -\frac{26}{35}$

Ответ: $2; -\frac{26}{35}$.

936. Садовый участок, имеющий форму прямоугольника, требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если известно, что длина участка на 15 м больше его ширины, а площадь его равна $700 \text{ м}^2$.

936.

Для решения задачи введем переменную. Пусть ширина садового участка, имеющего форму прямоугольника, равна $x$ метров.

Из условия известно, что длина участка на 15 м больше его ширины. Следовательно, длина участка составляет $(x + 15)$ метров.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. По условию, площадь участка равна 700 м². Составим уравнение:

$x \cdot (x + 15) = 700$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 15x - 700 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-700) = 225 + 2800 = 3025$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 + \sqrt{3025}}{2} = \frac{-15 + 55}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 - \sqrt{3025}}{2} = \frac{-15 - 55}{2} = \frac{-70}{2} = -35$

Так как ширина участка является геометрической величиной, она не может быть отрицательной. Поэтому корень $x_2 = -35$ не является решением задачи. Ширина участка равна $x = 20$ м.

Теперь найдем длину участка:

Длина = $x + 15 = 20 + 15 = 35$ м.

Длина изгороди, необходимой для ограждения участка, равна его периметру. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(l + w)$, где $l$ - длина, а $w$ - ширина:

$P = 2(35 + 20) = 2 \cdot 55 = 110$ м.

Ответ: 110 м.

937. Все ученики одного класса обменялись фотографиями. Сколько учеников было в этом классе, если всего было передано 600 фотокарточек?

Пусть $n$ — количество учеников в классе.

По условию, каждый ученик обменялся фотографиями со всеми остальными учениками. Это означает, что каждый из $n$ учеников отдал по одной своей фотографии каждому из $n-1$ одноклассников.

Общее количество переданных фотокарточек можно найти, умножив количество учеников на количество фотографий, которое отдал каждый.

Математически это выражается формулой:

$n \times (n-1) = 600$

Мы получили уравнение, которое нужно решить относительно $n$. Можно решить его как квадратное уравнение или методом подбора.

1. Решение через квадратное уравнение:

Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону:

$n^2 - n - 600 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-600$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 1 + 2400 = 2401$

Найдем корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{2401} = 49$

$n_1 = \frac{1 + 49}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$n_2 = \frac{1 - 49}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Поскольку количество учеников не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -24$ не является решением задачи. Таким образом, в классе было 25 учеников.

2. Решение методом подбора:

Нам нужно найти два последовательных целых числа, произведение которых равно 600.

Оценим значение $n$. Так как $n \approx n-1$, то $n^2 \approx 600$.

Мы знаем, что $20^2 = 400$, а $30^2 = 900$. Значит, $n$ находится между 20 и 30.

Поскольку произведение $n(n-1)$ заканчивается на 0, одно из чисел должно заканчиваться на 0 или 5.

Проверим $n=25$:

$25 \times (25 - 1) = 25 \times 24 = 600$

Это значение удовлетворяет условию задачи.

Ответ: в классе было 25 учеников.

938. Цифра десятков двузначного числа на 3 меньше цифры единиц, а произведение этого двузначного числа на сумму его цифр равно 70. Найдите это число.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10x + y$, где $x$ — это цифра десятков, а $y$ — это цифра единиц.

Согласно первому условию, цифра десятков на 3 меньше цифры единиц. Это можно записать в виде уравнения:

$x = y - 3$

Согласно второму условию, произведение этого двузначного числа на сумму его цифр равно 70. Сумма цифр числа равна $x + y$. Составим второе уравнение:

$(10x + y)(x + y) = 70$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными. Чтобы ее решить, подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$(10(y - 3) + y)((y - 3) + y) = 70$

Упростим выражение в каждой скобке:

$(10y - 30 + y)(2y - 3) = 70$

$(11y - 30)(2y - 3) = 70$

Теперь раскроем скобки, чтобы получить квадратное уравнение:

$22y^2 - 33y - 60y + 90 = 70$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены уравнения в левую часть:

$22y^2 - 93y + 90 - 70 = 0$

$22y^2 - 93y + 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-93)^2 - 4 \cdot 22 \cdot 20 = 8649 - 1760 = 6889$

Найдем корни уравнения, зная, что $\sqrt{D} = \sqrt{6889} = 83$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{93 + 83}{2 \cdot 22} = \frac{176}{44} = 4$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{93 - 83}{2 \cdot 22} = \frac{10}{44} = \frac{5}{22}$

Поскольку $y$ — это цифра, она должна быть целым числом. Второй корень $y_2 = \frac{5}{22}$ не является целым, поэтому он не подходит в качестве решения. Таким образом, цифра единиц искомого числа равна $y=4$.

Теперь найдем цифру десятков $x$, подставив значение $y$ в первое уравнение:

$x = y - 3 = 4 - 3 = 1$

Итак, цифра десятков равна 1, а цифра единиц — 4. Следовательно, искомое число — 14.

Выполним проверку:

1. Цифра десятков (1) действительно на 3 меньше цифры единиц (4): $1 = 4 - 3$.

2. Произведение числа (14) на сумму его цифр ($1+4=5$) равно 70: $14 \cdot 5 = 70$.

Оба условия выполняются.

Ответ: 14.

939. Участок земли имеет форму прямоугольного треугольника, один из катетов которого на 20 м больше другого. Найдите длину границы данного участка, если его площадь равна 0,24 га.

Для решения задачи необходимо найти длину границы участка, которая представляет собой периметр прямоугольного треугольника. Периметр — это сумма длин всех его сторон.

Перевод единиц и определение переменных

В первую очередь, приведем все величины к единой системе измерений. Длины сторон измеряются в метрах (м), а площадь — в гектарах (га). Переведем площадь в квадратные метры (м²).
Известно, что 1 гектар равен 10 000 квадратных метров.
$S = 0,24 \text{ га} = 0,24 \times 10000 \text{ м²} = 2400 \text{ м²}$.
Теперь введем переменные для сторон треугольника. Пусть длина меньшего катета равна $x$ метров. По условию, другой катет на 20 м длиннее, значит, его длина составляет $(x + 20)$ метров.

Нахождение длин катетов

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) вычисляется по формуле как половина произведения его катетов ($a$ и $b$): $S = \frac{1}{2}ab$.
Подставим в формулу известные нам значения и переменные:
$2400 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 20)$.
Чтобы решить это уравнение, сначала умножим обе его части на 2:
$4800 = x(x + 20)$
Раскроем скобки:
$x^2 + 20x = 4800$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 20x - 4800 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140$.
Теперь вычислим корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80$.
Поскольку длина стороны треугольника не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -80$ не имеет физического смысла в данной задаче. Следовательно, длина меньшего катета $x = 60$ м.

Теперь мы можем найти длины обоих катетов:
Меньший катет $a = x = 60$ м.
Больший катет $b = x + 20 = 60 + 20 = 80$ м.

Нахождение длины гипотенузы

Для вычисления периметра нам также нужна длина гипотенузы ($c$). Мы можем найти ее, используя теорему Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.
$c^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000$.
$c = \sqrt{10000} = 100$ м.

Вычисление длины границы (периметра)

Длина границы участка — это его периметр ($P$), который равен сумме длин всех его сторон.
$P = a + b + c = 60 + 80 + 100 = 240$ м.

Ответ: 240 м.

940. Решите уравнение:

а) $\frac{x}{x - 3} - \frac{5}{x + 3} = \frac{18}{x^2 - 9};$

б) $\frac{70}{x^2 - 16} - \frac{17}{x - 4} = \frac{3x}{x + 4};$

в) $\frac{3}{(2 - x)^2} - \frac{5}{(x + 2)^2} = \frac{14}{x^2 - 4};$

г) $\frac{2}{4 - x^2} - \frac{1}{2x - 4} - \frac{7}{2x^2 + 4x} = 0;$

д) $\frac{1}{x^2 - 9} + \frac{1}{3x - x^2} = \frac{3}{2x + 6};$

е) $\frac{2}{1 - x^2} - \frac{1}{1 - x} + \frac{4}{(x + 1)^2} = 0;$

ж) $\frac{2}{x^2 + 5x} + \frac{3}{2x - 10} = \frac{15}{x^2 - 25};$

з) $\frac{5}{2x + 6} - \frac{1}{6x^2 - 18x} = \frac{29}{27 - 3x^2}.$

а)

Исходное уравнение: $ \frac{x}{x-3} - \frac{5}{x+3} = \frac{18}{x^2-9} $

Разложим знаменатель в правой части на множители: $ x^2-9 = (x-3)(x+3) $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $ x-3 \neq 0 \implies x \neq 3 $ $ x+3 \neq 0 \implies x \neq -3 $ Таким образом, ОДЗ: $ x \neq \pm 3 $.

Приведем все дроби к общему знаменателю $ (x-3)(x+3) $: $ \frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{5(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{18}{(x-3)(x+3)} $

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-3)(x+3) $, чтобы избавиться от дробей, учитывая ОДЗ: $ x(x+3) - 5(x-3) = 18 $

Раскроем скобки и решим полученное уравнение: $ x^2 + 3x - 5x + 15 = 18 $ $ x^2 - 2x + 15 - 18 = 0 $ $ x^2 - 2x - 3 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни: $ x_1 = 3, x_2 = -1 $. Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $ x_1 = 3 $ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $ x_2 = -1 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1

б)

Исходное уравнение: $ \frac{70}{x^2-16} - \frac{17}{x-4} = \frac{3x}{x+4} $

Разложим знаменатель $ x^2-16 = (x-4)(x+4) $. ОДЗ: $ x \neq \pm 4 $.

Перенесем все члены в одну сторону и приведем к общему знаменателю $ (x-4)(x+4) $: $ \frac{70}{(x-4)(x+4)} - \frac{17(x+4)}{(x-4)(x+4)} - \frac{3x(x-4)}{(x-4)(x+4)} = 0 $

Умножим на знаменатель $ (x-4)(x+4) $ (при $ x \neq \pm 4 $): $ 70 - 17(x+4) - 3x(x-4) = 0 $ $ 70 - 17x - 68 - 3x^2 + 12x = 0 $ $ -3x^2 - 5x + 2 = 0 $ $ 3x^2 + 5x - 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $ D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $ $ x_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2 $ $ x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

Оба корня, -2 и $ \frac{1}{3} $, входят в ОДЗ.

Ответ: -2; $ \frac{1}{3} $

в)

Исходное уравнение: $ \frac{3}{(2-x)^2} - \frac{5}{(x+2)^2} = \frac{14}{x^2-4} $

Учтем, что $ (2-x)^2 = (x-2)^2 $ и $ x^2-4=(x-2)(x+2) $. ОДЗ: $ x \neq \pm 2 $. Уравнение принимает вид: $ \frac{3}{(x-2)^2} - \frac{5}{(x+2)^2} = \frac{14}{(x-2)(x+2)} $

Общий знаменатель: $ (x-2)^2(x+2)^2 $. Умножим на него обе части уравнения: $ 3(x+2)^2 - 5(x-2)^2 = 14(x-2)(x+2) $ $ 3(x^2+4x+4) - 5(x^2-4x+4) = 14(x^2-4) $ $ 3x^2+12x+12 - 5x^2+20x-20 = 14x^2-56 $ $ -2x^2+32x-8 = 14x^2-56 $ $ 16x^2-32x-48 = 0 $

Разделим все уравнение на 16: $ x^2-2x-3 = 0 $ Корни этого уравнения $ x_1 = 3, x_2 = -1 $ (как в пункте а).

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq \pm 2 $).

Ответ: -1; 3

г)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{4-x^2} - \frac{1}{2x-4} - \frac{7}{2x^2+4x} = 0 $

Разложим знаменатели на множители: $ 4-x^2 = -(x^2-4) = -(x-2)(x+2) $ $ 2x-4 = 2(x-2) $ $ 2x^2+4x = 2x(x+2) $ ОДЗ: $ x \neq 0, x \neq 2, x \neq -2 $.

Перепишем уравнение: $ \frac{2}{-(x-2)(x+2)} - \frac{1}{2(x-2)} - \frac{7}{2x(x+2)} = 0 $ Умножим на -1 для удобства: $ \frac{2}{(x-2)(x+2)} + \frac{1}{2(x-2)} + \frac{7}{2x(x+2)} = 0 $

Общий знаменатель $ 2x(x-2)(x+2) $. Умножим на него: $ 2(2x) + 1(x(x+2)) + 7(x-2) = 0 $ $ 4x + x^2+2x + 7x-14 = 0 $ $ x^2+13x-14 = 0 $

По теореме Виета: $ x_1 = 1, x_2 = -14 $. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -14; 1

д)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{x^2-9} + \frac{1}{3x-x^2} = \frac{3}{2x+6} $

Разложим знаменатели: $ x^2-9=(x-3)(x+3) $ $ 3x-x^2 = -x(x-3) $ $ 2x+6 = 2(x+3) $ ОДЗ: $ x \neq 0, x \neq \pm 3 $.

Перепишем уравнение: $ \frac{1}{(x-3)(x+3)} - \frac{1}{x(x-3)} = \frac{3}{2(x+3)} $ Общий знаменатель $ 2x(x-3)(x+3) $. Умножим на него: $ 1(2x) - 1(2(x+3)) = 3(x(x-3)) $ $ 2x - 2x - 6 = 3x^2 - 9x $ $ -6 = 3x^2 - 9x $ $ 3x^2 - 9x + 6 = 0 $

Разделим уравнение на 3: $ x^2 - 3x + 2 = 0 $ По теореме Виета: $ x_1=1, x_2=2 $. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1; 2

е)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{1-x^2} - \frac{1}{1-x} + \frac{4}{(x+1)^2} = 0 $

Разложим знаменатели: $ 1-x^2 = (1-x)(1+x) $ ОДЗ: $ x \neq \pm 1 $.

Общий знаменатель $ (1-x)(1+x)^2 $. Умножим на него: $ 2(1+x) - 1(1+x)^2 + 4(1-x) = 0 $ $ 2+2x - (1+2x+x^2) + 4-4x = 0 $ $ 2+2x-1-2x-x^2+4-4x=0 $ $ -x^2-4x+5=0 $ $ x^2+4x-5=0 $

По теореме Виета: $ x_1=-5, x_2=1 $. Корень $ x_2 = 1 $ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним. Корень $ x_1 = -5 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -5

ж)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{x^2+5x} + \frac{3}{2x-10} = \frac{15}{x^2-25} $

Разложим знаменатели: $ x^2+5x = x(x+5) $ $ 2x-10 = 2(x-5) $ $ x^2-25 = (x-5)(x+5) $ ОДЗ: $ x \neq 0, x \neq \pm 5 $.

Общий знаменатель $ 2x(x-5)(x+5) $. Умножим на него: $ 2 \cdot 2(x-5) + 3 \cdot x(x+5) = 15 \cdot 2x $ $ 4(x-5) + 3x(x+5) = 30x $ $ 4x-20+3x^2+15x = 30x $ $ 3x^2+19x-20 = 30x $ $ 3x^2-11x-20 = 0 $

Решим через дискриминант: $ D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361 = 19^2 $ $ x_1 = \frac{11-19}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} $ $ x_2 = \frac{11+19}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5 $

Корень $ x_2 = 5 $ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $ x_1 = -\frac{4}{3} $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ -\frac{4}{3} $

з)

Исходное уравнение: $ \frac{5}{2x+6} - \frac{1}{6x^2-18x} = \frac{29}{27-3x^2} $

Разложим знаменатели: $ 2x+6 = 2(x+3) $ $ 6x^2-18x = 6x(x-3) $ $ 27-3x^2 = 3(9-x^2) = -3(x^2-9) = -3(x-3)(x+3) $ ОДЗ: $ x \neq 0, x \neq \pm 3 $.

Перепишем уравнение: $ \frac{5}{2(x+3)} - \frac{1}{6x(x-3)} = -\frac{29}{3(x-3)(x+3)} $ Общий знаменатель $ 6x(x-3)(x+3) $. Умножим на него: $ 5 \cdot 3x(x-3) - 1 \cdot (x+3) = -29 \cdot 2x $ $ 15x(x-3) - (x+3) = -58x $ $ 15x^2-45x-x-3 = -58x $ $ 15x^2-46x-3 = -58x $ $ 15x^2+12x-3 = 0 $

Разделим уравнение на 3: $ 5x^2+4x-1=0 $ Решим через дискриминант: $ D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16+20 = 36 = 6^2 $ $ x_1 = \frac{-4-6}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1 $ $ x_2 = \frac{-4+6}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -1; $ \frac{1}{5} $

941. Две бригады, работая вместе, выполняют работу за 6 ч. Одной первой бригаде на ту же работу требуется на 5 ч больше, чем второй. За какое время может выполнить всю работу каждая бригада, работая отдельно?

Пусть вся работа принимается за 1 (единицу).

Пусть время, за которое вторая бригада выполнит всю работу самостоятельно, равно $x$ часов.

Тогда производительность второй бригады (часть работы, выполняемая за 1 час) составляет $\frac{1}{x}$.

Согласно условию, первой бригаде на выполнение той же работы требуется на 5 часов больше, чем второй. Следовательно, время работы первой бригады равно $(x+5)$ часов.

Производительность первой бригады составляет $\frac{1}{x+5}$.

Когда бригады работают вместе, их производительности складываются. Общая производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $P_{общая} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}$.

По условию, работая вместе, две бригады выполняют работу за 6 часов. Это означает, что их общая производительность равна $\frac{1}{6}$ работы в час.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общей производительности: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$: $\frac{x+5}{x(x+5)} + \frac{x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{x+5+x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение): $6(2x+5) = 1(x^2+5x)$

$12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$

$x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7+13}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7-13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Поскольку $x$ обозначает время, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -3$ не является решением задачи.

Таким образом, время выполнения работы второй бригадой составляет $x = 10$ часов.

Время выполнения работы первой бригадой составляет $x+5 = 10+5 = 15$ часов.

Ответ: первая бригада может выполнить работу за 15 часов, а вторая бригада — за 10 часов.

942. Две автомашины отправились одновременно из села в город, который удалён на $180 \text{ км}$. Одна автомашина пришла в город на $45 \text{ мин}$ позже другой, так как её скорость была на $20 \text{ км/ч}$ меньше. С какой скоростью шла каждая автомашина?

Для решения задачи обозначим скорость одной (более быстрой) автомашины как $v$ км/ч. По условию, скорость второй автомашины на 20 км/ч меньше, следовательно, она равна $(v - 20)$ км/ч. Обе автомашины должны проехать расстояние $S = 180$ км.

Время, которое затратила на путь первая (быстрая) автомашина, вычисляется по формуле $t_1 = \frac{S}{v}$, то есть $t_1 = \frac{180}{v}$ часов.

Время, которое затратила на путь вторая (медленная) автомашина, равно $t_2 = \frac{S}{v-20}$, то есть $t_2 = \frac{180}{v-20}$ часов.

В условии сказано, что одна автомашина пришла в город на 45 минут позже другой. Так как вторая автомашина двигалась медленнее, именно она затратила больше времени. Переведем разницу во времени в часы:

$45 \text{ минут} = \frac{45}{60} \text{ часа} = \frac{3}{4}$ часа.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв разницу во времени $t_2 - t_1$ к $\frac{3}{4}$ часа:

$\frac{180}{v - 20} - \frac{180}{v} = \frac{3}{4}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v - 20)$:

$\frac{180v - 180(v - 20)}{v(v - 20)} = \frac{3}{4}$

Раскроем скобки в числителе левой части:

$\frac{180v - 180v + 3600}{v^2 - 20v} = \frac{3}{4}$

$\frac{3600}{v^2 - 20v} = \frac{3}{4}$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 3:

$\frac{1200}{v^2 - 20v} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$1 \cdot (v^2 - 20v) = 1200 \cdot 4$

$v^2 - 20v = 4800$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 - 20v - 4800 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v = \frac{-(-20) \pm \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{20 \pm 140}{2}$

Уравнение имеет два корня:

$v_1 = \frac{20 + 140}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_2 = \frac{20 - 140}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -60$ не подходит по смыслу задачи. Значит, скорость первой (быстрой) автомашины равна 80 км/ч.

Найдем скорость второй автомашины:

$v - 20 = 80 - 20 = 60$ км/ч.

Таким образом, скорости автомашин равны 80 км/ч и 60 км/ч.

Ответ: скорость одной автомашины 80 км/ч, а скорость другой — 60 км/ч.