Страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

976. При каком значении с имеет решение система уравнений

$\begin{cases} 3x - y = 5, \\ x - 3y = 7, \\ 2x + 5y = c? \end{cases}$

Для того чтобы данная система из трех линейных уравнений с двумя переменными имела решение, необходимо, чтобы все три прямые, заданные этими уравнениями, пересекались в одной и той же точке. Следовательно, мы должны сначала найти точку пересечения первых двух прямых, решив систему из первых двух уравнений, а затем подставить координаты этой точки в третье уравнение, чтобы найти искомое значение c.

1. Найдем решение системы из первых двух уравнений:

$ \begin{cases} 3x - y = 5 \\ x - 3y = 7 \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим y:

$3x - 5 = y$

Подставим полученное выражение для y во второе уравнение системы:

$x - 3(3x - 5) = 7$

Теперь решим это уравнение относительно x. Раскроем скобки:

$x - 9x + 15 = 7$

Приведем подобные слагаемые:

$-8x = 7 - 15$

$-8x = -8$

$x = 1$

Теперь найдем значение y, подставив $x = 1$ в выражение $y = 3x - 5$:

$y = 3(1) - 5 = 3 - 5 = -2$

Таким образом, точка пересечения первых двух прямых имеет координаты $(1; -2)$.

2. Найдем значение c:

Чтобы вся система имела решение, третья прямая $2x + 5y = c$ также должна проходить через точку $(1; -2)$. Подставим значения $x = 1$ и $y = -2$ в третье уравнение:

$2(1) + 5(-2) = c$

$2 - 10 = c$

$c = -8$

Следовательно, система уравнений имеет решение только при значении $c = -8$.

Ответ: -8

977. Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли парабола $y = x^2 - x + 4$ и гипербола $y = \frac{4}{x}$. Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.

Выяснение, пересекаются ли графики

Чтобы определить, пересекаются ли графики параболы $y = x^2 - x + 4$ и гиперболы $y = \frac{4}{x}$, необходимо найти общие точки этих двух кривых. Координаты общих точек должны удовлетворять обоим уравнениям одновременно. Поэтому приравняем выражения для $y$:

$x^2 - x + 4 = \frac{4}{x}$

Данное уравнение определено для всех $x$, кроме $x = 0$, так как знаменатель дроби не может быть равен нулю. Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части на $x$:

$x(x^2 - x + 4) = 4$

$x^3 - x^2 + 4x = 4$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение стандартного вида:

$x^3 - x^2 + 4x - 4 = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся методом группировки слагаемых:

$(x^3 - x^2) + (4x - 4) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 1) + 4(x - 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)(x^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x - 1 = 0$, откуда получаем $x = 1$.

2) $x^2 + 4 = 0$, откуда $x^2 = -4$. Это уравнение не имеет решений в области действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Таким образом, мы нашли единственный действительный корень $x = 1$. Это означает, что графики данных функций имеют одну общую точку, то есть пересекаются.

Ответ: Да, графики пересекаются.

Нахождение координат точек пересечения

Мы установили, что абсцисса точки пересечения равна $x = 1$. Чтобы найти ординату $y$ этой точки, подставим найденное значение $x$ в уравнение любой из функций. Проще всего использовать уравнение гиперболы:

$y = \frac{4}{x} = \frac{4}{1} = 4$

Для уверенности выполним проверку, подставив $x = 1$ в уравнение параболы:

$y = x^2 - x + 4 = 1^2 - 1 + 4 = 1 - 1 + 4 = 4$

Оба уравнения дают одинаковый результат, значит, координаты точки пересечения найдены верно.

Ответ: Координаты точки пересечения $(1, 4)$.

Иллюстрация решения с помощью графиков

Для наглядной иллюстрации решения построим графики параболы $y = x^2 - x + 4$ и гиперболы $y = \frac{4}{x}$ в одной системе координат.

• Парабола $y = x^2 - x + 4$ — это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0.5$. Ордината вершины $y_v = (0.5)^2 - 0.5 + 4 = 0.25 - 0.5 + 4 = 3.75$. Таким образом, вершина находится в точке $(0.5, 3.75)$.
• Гипербола $y = \frac{4}{x}$ — это обратная пропорциональность, ее график — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика.

На графике ниже синим цветом изображена парабола, а красным — гипербола. Черной точкой отмечено их пересечение.

978. При каком значении $a$ система уравнений

$$\begin{cases} x + 3y = 2, \\ xy = a \end{cases}$$

имеет единственное решение?

Данная система уравнений состоит из линейного и нелинейного уравнений:

Чтобы найти, при каком значении параметра $a$ система имеет единственное решение, можно использовать метод подстановки. Этот метод сведет систему к одному квадратному уравнению, которое имеет единственное решение, когда его дискриминант равен нулю.

1. Выразим переменную $x$ из первого уравнения:

$x = 2 - 3y$

2. Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(2 - 3y)y = a$

3. Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения $Ay^2 + By + C = 0$:

$2y - 3y^2 = a$

$3y^2 - 2y + a = 0$

4. Квадратное уравнение имеет единственное решение, если его дискриминант ($D$) равен нулю. Формула дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$.

В нашем уравнении коэффициенты равны:

$A = 3$

$B = -2$

$C = a$

Вычислим дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 4 - 12a$

5. Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значение $a$, при котором уравнение имеет одно решение:

$4 - 12a = 0$

$12a = 4$

$a = \frac{4}{12}$

$a = \frac{1}{3}$

При этом значении $a$ система будет иметь единственное решение для пары $(x, y)$.

Ответ: $a = \frac{1}{3}$.

979. Если от числителя и знаменателя обыкновенной дроби отнять по единице, то дробь увеличится на $\frac{1}{6}$. Если же к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь уменьшится на $\frac{1}{10}$. Найдите эту дробь.

Пусть искомая обыкновенная дробь имеет вид $\frac{x}{y}$, где $x$ - числитель, а $y$ - знаменатель.

Согласно первому условию задачи, если от числителя и знаменателя отнять по единице, то дробь увеличится на $\frac{1}{6}$. Запишем это в виде уравнения:

$\frac{x-1}{y-1} = \frac{x}{y} + \frac{1}{6}$

Преобразуем это уравнение, чтобы выразить разность $x-y$. Для этого перенесем $\frac{x}{y}$ в левую часть:

$\frac{x-1}{y-1} - \frac{x}{y} = \frac{1}{6}$
$\frac{y(x-1) - x(y-1)}{y(y-1)} = \frac{1}{6}$
$\frac{xy - y - xy + x}{y(y-1)} = \frac{1}{6}$
$\frac{x-y}{y(y-1)} = \frac{1}{6}$ (1)

Согласно второму условию, если к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь уменьшится на $\frac{1}{10}$. Запишем это в виде второго уравнения:

$\frac{x+1}{y+1} = \frac{x}{y} - \frac{1}{10}$

Аналогично преобразуем второе уравнение:

$\frac{x}{y} - \frac{x+1}{y+1} = \frac{1}{10}$
$\frac{x(y+1) - y(x+1)}{y(y+1)} = \frac{1}{10}$
$\frac{xy + x - xy - y}{y(y+1)} = \frac{1}{10}$
$\frac{x-y}{y(y+1)} = \frac{1}{10}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений. Из уравнения (1) выразим $x-y$: $x-y = \frac{y(y-1)}{6}$.

Из уравнения (2) также выразим $x-y$: $x-y = \frac{y(y+1)}{10}$.

Теперь приравняем правые части полученных выражений, так как их левые части равны:

$\frac{y(y-1)}{6} = \frac{y(y+1)}{10}$

Поскольку $y$ является знаменателем дроби, $y \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $y$:

$\frac{y-1}{6} = \frac{y+1}{10}$

Для решения этого линейного уравнения умножим обе его части на 30 (наименьшее общее кратное чисел 6 и 10):

$5(y-1) = 3(y+1)$
$5y - 5 = 3y + 3$
$5y - 3y = 3 + 5$
$2y = 8$
$y = 4$

Теперь, зная значение $y$, мы можем найти $x$. Подставим $y=4$ в одно из выражений для $x-y$, например, в $x-y = \frac{y(y-1)}{6}$:

$x-4 = \frac{4(4-1)}{6} = \frac{4 \cdot 3}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x - 4 = 2$
$x = 6$

Следовательно, искомая дробь равна $\frac{6}{4}$.

Проверка:
Исходная дробь: $\frac{6}{4}$.
1. Отнимем 1 от числителя и знаменателя: $\frac{6-1}{4-1} = \frac{5}{3}$.
Разница с исходной дробью: $\frac{5}{3} - \frac{6}{4} = \frac{20 - 18}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$. Условие выполнено.
2. Прибавим 1 к числителю и знаменателю: $\frac{6+1}{4+1} = \frac{7}{5}$.
Разница с исходной дробью: $\frac{6}{4} - \frac{7}{5} = \frac{30 - 28}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$. Условие выполнено.

Ответ: $\frac{6}{4}$

980. Если от числителя и знаменателя обыкновенной дроби отнять по единице, то дробь уменьшится на $ \frac{1}{10} $. Если же к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь увеличится на $ \frac{1}{15} $. Найдите эту дробь.

Пусть искомая обыкновенная дробь — это $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель ($y \neq 0$).

1. Составление системы уравнений

Исходя из первого условия задачи, если от числителя и знаменателя отнять по единице, то дробь уменьшится на $\frac{1}{10}$. Математически это выражается так: $$ \frac{x}{y} - \frac{x-1}{y-1} = \frac{1}{10} $$ Приведем левую часть к общему знаменателю $y(y-1)$: $$ \frac{x(y-1) - y(x-1)}{y(y-1)} = \frac{1}{10} $$ $$ \frac{xy - x - xy + y}{y(y-1)} = \frac{1}{10} $$ $$ \frac{y-x}{y(y-1)} = \frac{1}{10} $$ Отсюда получаем первое уравнение: $10(y-x) = y(y-1)$.

Исходя из второго условия, если к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь увеличится на $\frac{1}{15}$. Это дает нам второе уравнение: $$ \frac{x+1}{y+1} - \frac{x}{y} = \frac{1}{15} $$ Приведем левую часть к общему знаменателю $y(y+1)$: $$ \frac{y(x+1) - x(y+1)}{y(y+1)} = \frac{1}{15} $$ $$ \frac{xy + y - xy - x}{y(y+1)} = \frac{1}{15} $$ $$ \frac{y-x}{y(y+1)} = \frac{1}{15} $$ Отсюда получаем второе уравнение: $15(y-x) = y(y+1)$.

2. Решение системы уравнений

Мы получили следующую систему уравнений: $$ \begin{cases} 10(y-x) = y^2 - y \\ 15(y-x) = y^2 + y \end{cases} $$ Выразим из каждого уравнения разность $(y-x)$: $$ y-x = \frac{y^2-y}{10} $$ $$ y-x = \frac{y^2+y}{15} $$ Теперь приравняем правые части этих выражений: $$ \frac{y^2-y}{10} = \frac{y^2+y}{15} $$ Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на 30 (наименьшее общее кратное 10 и 15): $$ 3(y^2-y) = 2(y^2+y) $$ $$ 3y^2 - 3y = 2y^2 + 2y $$ Перенесем все слагаемые в одну сторону: $$ 3y^2 - 2y^2 - 3y - 2y = 0 $$ $$ y^2 - 5y = 0 $$ Вынесем общий множитель $y$ за скобки: $$ y(y-5) = 0 $$ Это уравнение имеет два решения: $y=0$ или $y=5$. Поскольку $y$ — это знаменатель дроби, он не может быть равен нулю. Следовательно, единственное возможное значение — $y=5$.

Найдем $x$, подставив $y=5$ в одно из уравнений, например, в $10(y-x) = y^2-y$: $$ 10(5-x) = 5^2-5 $$ $$ 10(5-x) = 25-5 $$ $$ 10(5-x) = 20 $$ $$ 5-x = 2 $$ $$ x = 5-2 = 3 $$ Таким образом, искомая дробь — это $\frac{3}{5}$.

3. Проверка

Проверим, удовлетворяет ли найденная дробь $\frac{3}{5}$ условиям задачи.
1) Отнимем 1 от числителя и знаменателя: $\frac{3-1}{5-1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Уменьшение составляет: $\frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6-5}{10} = \frac{1}{10}$. Условие выполнено.
2) Прибавим 1 к числителю и знаменателю: $\frac{3+1}{5+1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Увеличение составляет: $\frac{2}{3} - \frac{3}{5} = \frac{10-9}{15} = \frac{1}{15}$. Условие выполнено.

Ответ: $\frac{3}{5}$

981. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь равна 180 см². Найдите катеты этого треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

По условию задачи дано:
Гипотенуза $c = 41$ см.
Площадь треугольника $S = 180$ см².

Для решения задачи используем теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$), и формулу площади прямоугольного треугольника, которая равна половине произведения его катетов ($S = \frac{1}{2}ab$).

Составим систему уравнений, подставив в формулы известные значения:
1. $a^2 + b^2 = 41^2$
2. $\frac{1}{2}ab = 180$

Упростим эту систему:
1. $a^2 + b^2 = 1681$
2. $ab = 180 \cdot 2 \implies ab = 360$

Таким образом, нам нужно решить систему уравнений:
$ \begin{cases} a^2 + b^2 = 1681 \\ ab = 360 \end{cases} $

Для решения системы удобно использовать формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Мы можем переписать ее как $(a+b)^2 = (a^2+b^2) + 2ab$.
Подставим известные нам значения из системы:
$(a+b)^2 = 1681 + 2 \cdot 360$
$(a+b)^2 = 1681 + 720$
$(a+b)^2 = 2401$

Извлечем квадратный корень. Поскольку $a$ и $b$ — это длины сторон, их сумма должна быть положительной.
$a+b = \sqrt{2401} = 49$.

Теперь у нас есть новая, более простая система, в которой известны сумма и произведение катетов:
$ \begin{cases} a+b = 49 \\ ab = 360 \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.
Подставив значения суммы и произведения, получим уравнение:
$t^2 - 49t + 360 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 = 2401 - 1440 = 961$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.

Найдем корни уравнения, которые и будут длинами искомых катетов:
$t_1 = \frac{-(-49) + 31}{2 \cdot 1} = \frac{49 + 31}{2} = \frac{80}{2} = 40$
$t_2 = \frac{-(-49) - 31}{2 \cdot 1} = \frac{49 - 31}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Таким образом, катеты треугольника равны 9 см и 40 см.
Проверим полученный результат.
Сумма квадратов катетов: $9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$.
Квадрат гипотенузы: $41^2 = 1681$.
Равенство $a^2+b^2=c^2$ выполняется.
Площадь: $\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 40 = \frac{360}{2} = 180$ см².
Все условия задачи выполнены.

Ответ: катеты треугольника равны 9 см и 40 см.

982. Площадь прямоугольного треугольника равна 44 $cm^2$. Если один из его катетов уменьшить на 1 см, а другой увеличить на 2 см, то площадь будет равна 50 $cm^2$. Найдите катеты данного треугольника.

Пусть длины катетов прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов. По условию, начальная площадь равна 44 см². Это можно записать в виде уравнения: $S = \frac{1}{2} a \cdot b = 44$

Отсюда следует, что произведение катетов равно: $a \cdot b = 44 \cdot 2 = 88$

Далее, по условию, если один из катетов уменьшить на 1 см, а другой увеличить на 2 см, то площадь будет равна 50 см². Допустим, мы уменьшаем катет $a$ и увеличиваем катет $b$. Новые длины катетов будут $(a - 1)$ см и $(b + 2)$ см. Новая площадь будет равна: $S_{new} = \frac{1}{2} (a - 1)(b + 2) = 50$

Из этого уравнения получаем: $(a - 1)(b + 2) = 50 \cdot 2 = 100$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $\begin{cases} a \cdot b = 88 \\ (a - 1)(b + 2) = 100 \end{cases}$

Выразим $b$ из первого уравнения: $b = \frac{88}{a}$

Подставим это выражение во второе уравнение системы: $(a - 1)(\frac{88}{a} + 2) = 100$

Раскроем скобки в левой части уравнения: $a \cdot \frac{88}{a} + a \cdot 2 - 1 \cdot \frac{88}{a} - 1 \cdot 2 = 100$ $88 + 2a - \frac{88}{a} - 2 = 100$

Упростим выражение: $2a - \frac{88}{a} + 86 = 100$ $2a - \frac{88}{a} - 14 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на $a$ (поскольку длина катета $a$ не может быть равна нулю): $2a^2 - 14a - 88 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на 2: $a^2 - 7a - 44 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225$

Найдем корни уравнения: $a_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 15}{2} = \frac{22}{2} = 11$ $a_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 15}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Так как длина катета является положительной величиной, корень $a_2 = -4$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, длина одного катета равна 11 см.

Теперь найдем длину второго катета $b$, используя первое уравнение $a \cdot b = 88$: $11 \cdot b = 88$ $b = \frac{88}{11} = 8$

Таким образом, катеты данного треугольника равны 11 см и 8 см.

Выполним проверку. Изначальная площадь: $\frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 8 = 44$ см². Соответствует условию. Измененные катеты: $11 - 1 = 10$ см и $8 + 2 = 10$ см. Новая площадь: $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50$ см². Соответствует условию.

Ответ: катеты данного треугольника равны 8 см и 11 см.

983. Двое рабочих вместе могут выполнить некоторую работу за 10 дней. После 7 дней совместной работы один из них был переведён на другой участок, а второй закончил работу, проработав ещё 9 дней. За сколько дней каждый рабочий мог выполнить всю работу?

Примем весь объем работы за 1 (единицу).

Пусть первый рабочий может выполнить всю работу за $x$ дней, а второй — за $y$ дней. Тогда производительность труда (часть работы, выполняемая за один день) первого рабочего составляет $\frac{1}{x}$, а второго — $\frac{1}{y}$.

Из условия, что двое рабочих вместе могут выполнить работу за 10 дней, следует, что их совместная производительность равна $\frac{1}{10}$ работы в день. Составим первое уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10}$

За 7 дней совместной работы рабочие выполнили часть работы, равную:

$7 \times (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 7 \times \frac{1}{10} = \frac{7}{10}$

После этого осталась невыполненной следующая часть работы:

$1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$

Эту оставшуюся часть работы один из рабочих (допустим, второй) закончил, проработав еще 9 дней. Это позволяет составить второе уравнение, связывающее производительность второго рабочего и выполненную им работу:

$\frac{1}{y} \times 9 = \frac{3}{10}$

Теперь решим полученную систему уравнений. Из второго уравнения найдем $y$:

$\frac{9}{y} = \frac{3}{10}$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$3y = 9 \times 10$

$3y = 90$

$y = 30$

Таким образом, второй рабочий, работая один, может выполнить всю работу за 30 дней.

Теперь подставим найденное значение $y=30$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10}$

Выразим $\frac{1}{x}$:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 30:

$\frac{1}{x} = \frac{3}{30} - \frac{1}{30}$

$\frac{1}{x} = \frac{2}{30}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{15}$

$x = 15$

Следовательно, первый рабочий, работая один, может выполнить всю работу за 15 дней.

Ответ: Один рабочий мог выполнить всю работу за 15 дней, а другой — за 30 дней.

984. Двое рабочих, работая вместе, выполнили работу за 2 дня. Сколько времени нужно каждому из них на выполнение всей работы, если известно, что если бы первый проработал 2 дня, а второй — один, то всего было бы сделано $\frac{5}{6}$ всей работы?

Примем всю работу за 1.

Пусть $x$ – время (в днях), за которое первый рабочий выполнит всю работу самостоятельно, а $y$ – время (в днях), за которое второй рабочий выполнит всю работу самостоятельно.

Тогда производительность первого рабочего (часть работы, выполняемая за один день) составляет $\frac{1}{x}$, а производительность второго – $\frac{1}{y}$.

Согласно первому условию, работая вместе, они выполнили всю работу за 2 дня. Их совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Составим первое уравнение:

$2 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1$

Из этого уравнения выразим их совместную производительность:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$

Согласно второму условию, если бы первый рабочий проработал 2 дня, а второй – 1 день, то было бы выполнено $\frac{5}{6}$ всей работы. Составим второе уравнение:

$2 \cdot \frac{1}{x} + 1 \cdot \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:

$(\frac{2}{x} + \frac{1}{y}) - (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{5}{6} - \frac{1}{2}$

Упростим левую часть:

$\frac{2}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{y} = \frac{1}{x}$

Упростим правую часть, приведя дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Получаем уравнение:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$

Отсюда следует, что $x = 3$. Значит, первый рабочий может выполнить всю работу за 3 дня.

Теперь подставим найденное значение $\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$

Выразим $\frac{1}{y}$:

$\frac{1}{y} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{y} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$

Отсюда следует, что $y = 6$. Значит, второй рабочий может выполнить всю работу за 6 дней.

Ответ: первому рабочему на выполнение всей работы нужно 3 дня, а второму – 6 дней.