Номер 982, страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

982. Площадь прямоугольного треугольника равна 44 $cm^2$. Если один из его катетов уменьшить на 1 см, а другой увеличить на 2 см, то площадь будет равна 50 $cm^2$. Найдите катеты данного треугольника.

Пусть длины катетов прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов. По условию, начальная площадь равна 44 см². Это можно записать в виде уравнения: $S = \frac{1}{2} a \cdot b = 44$

Отсюда следует, что произведение катетов равно: $a \cdot b = 44 \cdot 2 = 88$

Далее, по условию, если один из катетов уменьшить на 1 см, а другой увеличить на 2 см, то площадь будет равна 50 см². Допустим, мы уменьшаем катет $a$ и увеличиваем катет $b$. Новые длины катетов будут $(a - 1)$ см и $(b + 2)$ см. Новая площадь будет равна: $S_{new} = \frac{1}{2} (a - 1)(b + 2) = 50$

Из этого уравнения получаем: $(a - 1)(b + 2) = 50 \cdot 2 = 100$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $\begin{cases} a \cdot b = 88 \\ (a - 1)(b + 2) = 100 \end{cases}$

Выразим $b$ из первого уравнения: $b = \frac{88}{a}$

Подставим это выражение во второе уравнение системы: $(a - 1)(\frac{88}{a} + 2) = 100$

Раскроем скобки в левой части уравнения: $a \cdot \frac{88}{a} + a \cdot 2 - 1 \cdot \frac{88}{a} - 1 \cdot 2 = 100$ $88 + 2a - \frac{88}{a} - 2 = 100$

Упростим выражение: $2a - \frac{88}{a} + 86 = 100$ $2a - \frac{88}{a} - 14 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на $a$ (поскольку длина катета $a$ не может быть равна нулю): $2a^2 - 14a - 88 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на 2: $a^2 - 7a - 44 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225$

Найдем корни уравнения: $a_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 15}{2} = \frac{22}{2} = 11$ $a_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 15}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Так как длина катета является положительной величиной, корень $a_2 = -4$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, длина одного катета равна 11 см.

Теперь найдем длину второго катета $b$, используя первое уравнение $a \cdot b = 88$: $11 \cdot b = 88$ $b = \frac{88}{11} = 8$

Таким образом, катеты данного треугольника равны 11 см и 8 см.

Выполним проверку. Изначальная площадь: $\frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 8 = 44$ см². Соответствует условию. Измененные катеты: $11 - 1 = 10$ см и $8 + 2 = 10$ см. Новая площадь: $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50$ см². Соответствует условию.

Ответ: катеты данного треугольника равны 8 см и 11 см.