Номер 984, страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

984. Двое рабочих, работая вместе, выполнили работу за 2 дня. Сколько времени нужно каждому из них на выполнение всей работы, если известно, что если бы первый проработал 2 дня, а второй — один, то всего было бы сделано $\frac{5}{6}$ всей работы?

Примем всю работу за 1.

Пусть $x$ – время (в днях), за которое первый рабочий выполнит всю работу самостоятельно, а $y$ – время (в днях), за которое второй рабочий выполнит всю работу самостоятельно.

Тогда производительность первого рабочего (часть работы, выполняемая за один день) составляет $\frac{1}{x}$, а производительность второго – $\frac{1}{y}$.

Согласно первому условию, работая вместе, они выполнили всю работу за 2 дня. Их совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Составим первое уравнение:

$2 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1$

Из этого уравнения выразим их совместную производительность:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$

Согласно второму условию, если бы первый рабочий проработал 2 дня, а второй – 1 день, то было бы выполнено $\frac{5}{6}$ всей работы. Составим второе уравнение:

$2 \cdot \frac{1}{x} + 1 \cdot \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:

$(\frac{2}{x} + \frac{1}{y}) - (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{5}{6} - \frac{1}{2}$

Упростим левую часть:

$\frac{2}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{y} = \frac{1}{x}$

Упростим правую часть, приведя дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Получаем уравнение:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$

Отсюда следует, что $x = 3$. Значит, первый рабочий может выполнить всю работу за 3 дня.

Теперь подставим найденное значение $\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$

Выразим $\frac{1}{y}$:

$\frac{1}{y} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{y} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$

Отсюда следует, что $y = 6$. Значит, второй рабочий может выполнить всю работу за 6 дней.

Ответ: первому рабочему на выполнение всей работы нужно 3 дня, а второму – 6 дней.