Номер 991, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

991. В арифметической прогрессии третий член равен 150, а тринадцатый член равен 110. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, сложили, если их сумма оказалась равной нулю?

Пусть $a_n$ — n-ый член арифметической прогрессии, $d$ — её разность, а $S_n$ — сумма первых $n$ членов.

По условию задачи известно, что третий член прогрессии $a_3 = 150$, а тринадцатый член $a_{13} = 110$.

Для нахождения разности прогрессии $d$ и первого члена $a_1$ воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($a_1$ и $d$):

$a_1 + 2d = 150$

$a_1 + 12d = 110$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти $d$:

$(a_1 + 12d) - (a_1 + 2d) = 110 - 150$

$10d = -40$

$d = -4$

Теперь подставим найденное значение $d = -4$ в первое уравнение системы, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 2(-4) = 150$

$a_1 - 8 = 150$

$a_1 = 158$

Итак, первый член прогрессии $a_1 = 158$ и её разность $d = -4$.

Далее необходимо найти количество членов $n$, сумма которых равна нулю. Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

По условию $S_n = 0$. Подставим в формулу известные значения $a_1$ и $d$:

$\frac{2 \cdot 158 + (n-1)(-4)}{2} \cdot n = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как мы ищем количество членов, то $n$ должно быть натуральным числом, т.е. $n \neq 0$. Следовательно, нулю должен быть равен числитель дроби в скобках:

$2 \cdot 158 + (n-1)(-4) = 0$

$316 - 4(n-1) = 0$

$316 - 4n + 4 = 0$

$320 - 4n = 0$

$4n = 320$

$n = \frac{320}{4}$

$n = 80$

Таким образом, сумма первых 80 членов этой прогрессии равна нулю.

Ответ: 80