Номер 998, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

998. В геометрической прогрессии $ (b_n) $, знаменатель которой положителен, $ b_1 \cdot b_2 = \frac{1}{27} $, а $ b_3 \cdot b_4 = 3 $. Найдите сумму первых четырёх членов этой прогрессии.

Пусть $(b_n)$ — данная геометрическая прогрессия, $b_1$ — её первый член, а $q$ — её знаменатель. По условию, знаменатель положителен, то есть $q > 0$.

Члены геометрической прогрессии связаны формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

$b_1 \cdot b_2 = \frac{1}{27}$

$b_3 \cdot b_4 = 3$

Выразим $b_2, b_3$ и $b_4$ через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1 \cdot q$

$b_3 = b_1 \cdot q^2$

$b_4 = b_1 \cdot q^3$

Подставим эти выражения в систему:

$b_1 \cdot (b_1 \cdot q) = b_1^2 q = \frac{1}{27}$ (1)

$(b_1 \cdot q^2) \cdot (b_1 \cdot q^3) = b_1^2 q^5 = 3$ (2)

Чтобы найти знаменатель $q$, разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{b_1^2 q^5}{b_1^2 q} = \frac{3}{\frac{1}{27}}$

$q^{5-1} = 3 \cdot 27$

$q^4 = 81$

Так как по условию $q > 0$, находим единственный положительный корень:

$q = \sqrt[4]{81} = 3$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив найденное значение $q=3$ в уравнение (1):

$b_1^2 \cdot 3 = \frac{1}{27}$

$b_1^2 = \frac{1}{27 \cdot 3} = \frac{1}{81}$

Из этого уравнения следует, что для $b_1$ есть два возможных значения:

$b_1 = \sqrt{\frac{1}{81}} = \frac{1}{9}$ или $b_1 = -\sqrt{\frac{1}{81}} = -\frac{1}{9}$

Нам необходимо найти сумму первых четырех членов этой прогрессии, $S_4$. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим $n=4$ и $q=3$:

$S_4 = \frac{b_1(3^4 - 1)}{3 - 1} = \frac{b_1(81 - 1)}{2} = \frac{b_1 \cdot 80}{2} = 40b_1$

Так как мы получили два возможных значения для $b_1$, существует две возможные прогрессии, удовлетворяющие условию, и, соответственно, две возможные суммы.

1. Если $b_1 = \frac{1}{9}$, то сумма равна:

$S_4 = 40 \cdot \frac{1}{9} = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9}$

2. Если $b_1 = -\frac{1}{9}$, то сумма равна:

$S_4 = 40 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) = -\frac{40}{9} = -4\frac{4}{9}$

Оба случая полностью удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: $\frac{40}{9}$ или $-\frac{40}{9}$.