Номер 1004, страница 236 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1004. Решите неравенство:

a) $(5 - 2x)(\sqrt{6} - 3) < 0;$

б) $(4 - \sqrt{10})(3x + 1) > 0;$

в) $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2 + 7x} < 0;$

г) $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{8}}{4 + 5x} > 0.$

а) Исходное неравенство: $(5 - 2x)(\sqrt{6} - 3) < 0$.
Это линейное неравенство, которое можно решить, определив знак постоянного множителя $(\sqrt{6} - 3)$.
Сравним числа $\sqrt{6}$ и $3$. Для этого сравним их квадраты: $(\sqrt{6})^2 = 6$ и $3^2 = 9$.
Так как $6 < 9$, то $\sqrt{6} < 3$. Следовательно, множитель $(\sqrt{6} - 3)$ является отрицательным числом.
Произведение двух множителей отрицательно, если они имеют разные знаки. Поскольку $(\sqrt{6} - 3) < 0$, для выполнения неравенства второй множитель $(5 - 2x)$ должен быть положительным.
Решим неравенство:
$5 - 2x > 0$
$-2x > -5$
При делении обеих частей на отрицательное число (-2) знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{-5}{-2}$
$x < 2.5$
Таким образом, решение неравенства — это все числа, меньшие 2.5.
Ответ: $x \in (-\infty; 2.5)$.

б) Исходное неравенство: $(4 - \sqrt{10})(3x + 1) > 0$.
Определим знак постоянного множителя $(4 - \sqrt{10})$.
Сравним числа $4$ и $\sqrt{10}$. Сравним их квадраты: $4^2 = 16$ и $(\sqrt{10})^2 = 10$.
Так как $16 > 10$, то $4 > \sqrt{10}$. Следовательно, множитель $(4 - \sqrt{10})$ является положительным числом.
Произведение двух множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки. Поскольку $(4 - \sqrt{10}) > 0$, для выполнения неравенства второй множитель $(3x + 1)$ также должен быть положительным.
Решим неравенство:
$3x + 1 > 0$
$3x > -1$
$x > -\frac{1}{3}$
Таким образом, решение неравенства — это все числа, большие $-\frac{1}{3}$.
Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; +\infty)$.

в) Исходное неравенство: $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2 + 7x} < 0$.
Определим знак числителя $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$.
Сравним числа $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}$. Так как $3 > 2$, то $\sqrt{3} > \sqrt{2}$. Следовательно, числитель $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ является положительным числом.
Частное будет отрицательным, если числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поскольку числитель положителен, знаменатель $(2 + 7x)$ должен быть отрицательным.
Решим неравенство (знаменатель не может быть равен нулю, что уже учтено строгим знаком неравенства):
$2 + 7x < 0$
$7x < -2$
$x < -\frac{2}{7}$
Таким образом, решение неравенства — это все числа, меньшие $-\frac{2}{7}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{7})$.

г) Исходное неравенство: $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{8}}{4 + 5x} > 0$.
Определим знак числителя $(\sqrt{7} - \sqrt{8})$.
Сравним числа $\sqrt{7}$ и $\sqrt{8}$. Так как $7 < 8$, то $\sqrt{7} < \sqrt{8}$. Следовательно, числитель $(\sqrt{7} - \sqrt{8})$ является отрицательным числом.
Частное будет положительным, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Поскольку числитель отрицателен, знаменатель $(4 + 5x)$ также должен быть отрицательным.
Решим неравенство:
$4 + 5x < 0$
$5x < -4$
$x < -\frac{4}{5}$
$x < -0.8$
Таким образом, решение неравенства — это все числа, меньшие -0.8.
Ответ: $x \in (-\infty; -0.8)$.