Номер 1011, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1011. Решите неравенство:

a) $x^2 + 2x - 15 < 0;$

б) $5x^2 - 11x + 2 \ge 0;$

в) $10 - 3x^2 \le 5x - 2;$

г) $(2x + 3)(2 - x) > 3;$

д) $2x^2 - 0,5 \le 0;$

е) $3x^2 + 3,6x > 0;$

ж) $(0,2 - x)(0,2 + x) < 0;$

з) $x(3x - 2,4) > 0.$

а) Чтобы решить неравенство $x^2 + 2x - 15 < 0$, сначала найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 2x - 15 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = -5$; $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), ветви параболы $y = x^2 + 2x - 15$ направлены вверх. Неравенство имеет знак "меньше", поэтому решением будет интервал между корнями.

Ответ: $x \in (-5; 3)$.

б) Решим неравенство $5x^2 - 11x + 2 \ge 0$. Найдем корни уравнения $5x^2 - 11x + 2 = 0$.
Дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{11 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = 0.2$; $x_2 = \frac{11 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2$.
Ветви параболы $y = 5x^2 - 11x + 2$ направлены вверх ($a=5>0$). Неравенство имеет знак "больше или равно", поэтому решением будет объединение промежутков вне корней, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; 0.2] \cup [2; +\infty)$.

в) Преобразуем неравенство $10 - 3x^2 \le 5x - 2$ к стандартному виду.
Перенесем все члены в одну сторону: $0 \le 3x^2 + 5x - 2 - 10$.
$3x^2 + 5x - 12 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + 5x - 12 = 0$.
Дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169$.
Корни: $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 13}{6} = -3$; $x_2 = \frac{-5 + 13}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Ветви параболы $y = 3x^2 + 5x - 12$ направлены вверх ($a=3>0$). Решением неравенства $\ge 0$ будут значения $x$ вне интервала между корнями, включая корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [\frac{4}{3}; +\infty)$.

г) Решим неравенство $(2x + 3)(2 - x) > 3$.
Раскроем скобки: $4x - 2x^2 + 6 - 3x > 3$.
Приведем подобные члены и перенесем все в одну сторону: $-2x^2 + x + 6 - 3 > 0 \implies -2x^2 + x + 3 > 0$.
Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный: $2x^2 - x - 3 < 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - x - 3 = 0$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{4} = \frac{-4}{4} = -1$; $x_2 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$.
Ветви параболы $y = 2x^2 - x - 3$ направлены вверх ($a=2>0$). Решением неравенства $< 0$ будет интервал между корнями.

Ответ: $x \in (-1; 1.5)$.

д) Решим неравенство $2x^2 - 0.5 \le 0$.
Это неполное квадратное неравенство. Перенесем свободный член вправо: $2x^2 \le 0.5$.
Разделим на 2: $x^2 \le 0.25$.
Это неравенство эквивалентно $|x| \le \sqrt{0.25}$, то есть $|x| \le 0.5$.
Таким образом, решение находится в пределах от -0.5 до 0.5, включая концы.

Ответ: $x \in [-0.5; 0.5]$.

е) Решим неравенство $3x^2 + 3.6x > 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(3x + 3.6) > 0$.
Найдем корни выражения, приравняв его к нулю: $x(3x + 3.6) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $3x + 3.6 = 0 \implies 3x = -3.6 \implies x_2 = -1.2$.
Парабола $y = 3x^2 + 3.6x$ имеет ветви вверх ($a=3>0$). Неравенство $> 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -1.2) \cup (0; +\infty)$.

ж) Решим неравенство $(0.2 - x)(0.2 + x) < 0$.
Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $(0.2)^2 - x^2 < 0 \implies 0.04 - x^2 < 0$.
Перенесем $x^2$ вправо: $0.04 < x^2$ или $x^2 > 0.04$.
Это неравенство эквивалентно $|x| > \sqrt{0.04}$, то есть $|x| > 0.2$.
Решением является объединение двух интервалов: $x < -0.2$ и $x > 0.2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.2) \cup (0.2; +\infty)$.

з) Решим неравенство $x(3x - 2.4) > 0$.
Найдем корни, приравняв выражение к нулю: $x(3x - 2.4) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $3x - 2.4 = 0 \implies 3x = 2.4 \implies x_2 = 0.8$.
Раскрыв скобки, получим $3x^2 - 2.4x > 0$. Ветви параболы направлены вверх ($a=3>0$). Неравенство $> 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0.8; +\infty)$.