Номер 1016, страница 238 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1016. При каких значениях $x$ имеет смысл выражение:

а) $\sqrt{12x - 4}$;

б) $\sqrt{3 - 0,6x}$;

в) $\sqrt{15 + 2x - x^2}$;

г) $\sqrt{2x^2 + x - 6}$;

д) $\sqrt{12 - 5x} + \sqrt{2x - 1}$;

е) $\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{3x - 17}$?

а)

Выражение $\sqrt{12x - 4}$ имеет смысл тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю).

Решим неравенство:

$12x - 4 \ge 0$

$12x \ge 4$

$x \ge \frac{4}{12}$

$x \ge \frac{1}{3}$

Ответ: $x \ge \frac{1}{3}$.

б)

Выражение $\sqrt{3 - 0,6x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.

Решим неравенство:

$3 - 0,6x \ge 0$

$3 \ge 0,6x$

$x \le \frac{3}{0,6}$

$x \le 5$

Ответ: $x \le 5$.

в)

Выражение $\sqrt{15 + 2x - x^2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.

Решим квадратное неравенство:

$15 + 2x - x^2 \ge 0$

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 2x - 15 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением является отрезок $[-3; 5]$.

Ответ: $-3 \le x \le 5$.

г)

Выражение $\sqrt{2x^2 + x - 6}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.

Решим квадратное неравенство:

$2x^2 + x - 6 \ge 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 + x - 6 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 7}{4} = -2$; $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Графиком функции $y = 2x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется вне промежутка между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением является объединение промежутков $(-\infty; -2] \cup [\frac{3}{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \le -2 \text{ или } x \ge \frac{3}{2}$.

д)

Выражение $\sqrt{12 - 5x} + \sqrt{2x - 1}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 12 - 5x \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $12 - 5x \ge 0 \implies 12 \ge 5x \implies x \le \frac{12}{5} \implies x \le 2,4$.

Решим второе неравенство: $2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2} \implies x \ge 0,5$.

Решением системы является пересечение полученных множеств: $[0,5; 2,4]$.

Ответ: $0,5 \le x \le 2,4$.

е)

Выражение $\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{3x - 17}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 4 \ge 0 \\ 3x - 17 \ge 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $x^2 + 4 \ge 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 4$ всегда будет больше или равно $4$. Следовательно, это неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим второе неравенство: $3x - 17 \ge 0 \implies 3x \ge 17 \implies x \ge \frac{17}{3}$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств, которое совпадает с решением второго неравенства.

Ответ: $x \ge \frac{17}{3}$.