Номер 1022, страница 239 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1022. Функция $y = f(x)$ задана формулой $y = \frac{6 - 2x}{3}$. При каких значениях аргумента $x$:

a) $f(x) = 0$;

б) $f(x) < 0$;

в) $f(x) \ge 0$?

Постройте график этой функции.

Дана функция $y = f(x)$, заданная формулой $y = \frac{6 - 2x}{3}$.

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$:
$\frac{6 - 2x}{3} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель равен 3, что не равно нулю.
$6 - 2x = 0$
$2x = 6$
$x = \frac{6}{2}$
$x = 3$
Ответ: $f(x) = 0$ при $x = 3$.

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых значение функции отрицательно, необходимо решить неравенство $f(x) < 0$:
$\frac{6 - 2x}{3} < 0$
Так как знаменатель дроби $3$ является положительным числом, знак неравенства определяется знаком числителя. Умножим обе части неравенства на 3:
$6 - 2x < 0$
$-2x < -6$
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-2), знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 3$
Ответ: $f(x) < 0$ при $x \in (3; +\infty)$.

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых значение функции неотрицательно, необходимо решить неравенство $f(x) \ge 0$:
$\frac{6 - 2x}{3} \ge 0$
Умножим обе части неравенства на 3:
$6 - 2x \ge 0$
$-2x \ge -6$
Разделим обе части неравенства на -2, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \le 3$
Ответ: $f(x) \ge 0$ при $x \in (-\infty; 3]$.

Преобразуем формулу функции к виду линейной функции $y = kx + b$:
$y = \frac{6 - 2x}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2x}{3} = 2 - \frac{2}{3}x$
Итак, $y = -\frac{2}{3}x + 2$.
Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.
1. Найдем точку пересечения с осью ординат (OY). Для этого подставим $x=0$:
$y = -\frac{2}{3} \cdot 0 + 2 = 2$
Получили точку A с координатами $(0; 2)$.
2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX). Для этого подставим $y=0$ (этот $x$ мы уже нашли в пункте а):
$0 = -\frac{2}{3}x + 2$
$\frac{2}{3}x = 2$
$x = 3$
Получили точку B с координатами $(3; 0)$.
Для построения графика нужно на координатной плоскости отметить точки A(0; 2) и B(3; 0) и провести через них прямую линию.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки с координатами (0; 2) и (3; 0).