Номер 1027, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1027. Постройте график функции $y = x^2 - 4x - 5$. При каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения? Какие значения принимает функция, если $0 \le x \le 4$?

Постройте график функции y = x² - 4x - 5.

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Общий вид уравнения $y = ax^2 + bx + c$. В нашем случае $a=1$, $b=-4$, $c=-5$. Поскольку коэффициент $a=1>0$, ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем его ключевые характеристики:

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ находятся по формулам:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$
$y_v = y(x_v) = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(2, -9)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью ординат (Oy): для этого подставляем $x=0$.
$y(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка пересечения — $(0, -5)$.
С осью абсцисс (Ox): для этого решаем уравнение $y=0$, то есть $x^2 - 4x - 5 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$.
Точки пересечения — $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.

3. Дополнительные точки.
Ось симметрии параболы — это прямая $x = 2$. Найдем точку, симметричную точке $(0, -5)$ относительно оси симметрии. Ее абсцисса будет равна 4.
$y(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 - 5 = 16 - 16 - 5 = -5$. Точка — $(4, -5)$.
Для большей точности можно найти еще пару точек, например, при $x=1$:
$y(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 - 5 = 1 - 4 - 5 = -8$. Точка — $(1, -8)$.

Ответ: Для построения графика отмечаем на координатной плоскости вершину $(2, -9)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(5, 0)$, $(0, -5)$ и дополнительные точки, например $(4, -5)$ и $(1, -8)$. Затем соединяем эти точки плавной кривой, получая параболу с ветвями вверх.

При каких значениях x функция принимает отрицательные значения?

Функция принимает отрицательные значения, когда $y < 0$, то есть $x^2 - 4x - 5 < 0$.

Графиком функции является парабола с ветвями вверх, которая пересекает ось Ox в точках $x=-1$ и $x=5$. Это означает, что значения функции отрицательны (график находится ниже оси Ox) на интервале между точками пересечения.

Следовательно, $y < 0$ при $-1 < x < 5$.

Ответ: $x \in (-1, 5)$.

Какие значения принимает функция, если 0 ≤ x ≤ 4?

Требуется найти область значений функции $y = x^2 - 4x - 5$ на отрезке $[0, 4]$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, свое наименьшее значение функция достигает в вершине. Абсцисса вершины $x_v = 2$ принадлежит отрезку $[0, 4]$.

Наименьшее значение функции на данном отрезке равно значению в вершине:
$y_{min} = y(2) = -9$.

Наибольшее значение на отрезке функция примет на одном из его концов. Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=4$:
$y(0) = -5$.
$y(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 - 5 = 16 - 16 - 5 = -5$.

Наибольшее значение на отрезке равно $-5$.

Таким образом, при $x \in [0, 4]$ функция принимает значения от $-9$ до $-5$ включительно.

Ответ: $y \in [-9, -5]$.