Номер 1025, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1025. Функция задана формулой $y = -x^2 + 3$.

Какова область определения этой функции?

Найдётся ли такое значение аргумента, при котором значение этой функции равно -1; 1; 5?

Постройте график этой функции и укажите её область значений.

Какова область определения этой функции?

Функция задана формулой $y = -x^2 + 3$. Это квадратичная функция, которая является частным случаем многочлена. Выражение $-x^2 + 3$ имеет смысл при любом значении переменной $x$, так как в нем нет операций, накладывающих ограничения на значения аргумента (таких как деление на ноль или извлечение корня четной степени из отрицательного числа). Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдётся ли такое значение аргумента, при котором значение этой функции равно –1; 1; 5?

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция $y$ принимает заданные значения, подставим эти значения в формулу функции и решим получившиеся уравнения.

1. Пусть $y = -1$:
$-1 = -x^2 + 3$
$x^2 = 3 + 1$
$x^2 = 4$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Да, такие значения аргумента существуют.

2. Пусть $y = 1$:
$1 = -x^2 + 3$
$x^2 = 3 - 1$
$x^2 = 2$
$x_1 = \sqrt{2}$, $x_2 = -\sqrt{2}$.
Да, такие значения аргумента существуют.

3. Пусть $y = 5$:
$5 = -x^2 + 3$
$x^2 = 3 - 5$
$x^2 = -2$.
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Нет, такого значения аргумента не существует.

Ответ: при $y = -1$ значение аргумента $x = \pm2$; при $y = 1$ значение аргумента $x = \pm\sqrt{2}$; не существует такого значения аргумента, при котором значение функции равно 5.

Постройте график этой функции и укажите её область значений.

Графиком функции $y = -x^2 + 3$ является парабола. Построим её по ключевым точкам.

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$. Так как он отрицательный ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины. Вершина параболы вида $y = ax^2+bx+c$ находится в точке $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=-1, b=0, c=3$, поэтому $x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
Ордината вершины: $y_0 = -(0)^2 + 3 = 3$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0; 3)$. Это точка максимума функции.

3. Ось симметрии. Осью симметрии параболы является прямая $x = x_0$, то есть $x = 0$ (ось ординат $Oy$).

4. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью $Oy$: при $x=0$, $y=3$. Точка $(0; 3)$ (совпадает с вершиной).
Пересечение с осью $Ox$ (нули функции): при $y=0$, получаем уравнение $0 = -x^2 + 3$.
$x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$.
Точки пересечения с осью $Ox$: $(-\sqrt{3}; 0)$ и $(\sqrt{3}; 0)$. (Приблизительно $(-1.73; 0)$ и $(1.73; 0)$).

5. Дополнительные точки. Для более точного построения найдем еще несколько точек, используя симметрию графика.
Если $x = 1$, то $y = -(1)^2 + 3 = 2$. Точка $(1; 2)$. Симметричная ей точка $(-1; 2)$.
Если $x = 2$, то $y = -(2)^2 + 3 = -1$. Точка $(2; -1)$. Симметричная ей точка $(-2; -1)$.

Для построения графика необходимо нанести на координатную плоскость вершину $(0; 3)$, точки пересечения с осями и дополнительные точки, после чего соединить их плавной кривой.

Область значений. Поскольку ветви параболы направлены вниз, а её вершина находится в точке $(0; 3)$, максимальное значение функции равно 3. Функция принимает все значения, не превышающие 3.

Ответ: область значений функции $E(y) = (-\infty; 3]$.