Страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1024. Каково взаимное расположение графиков линейных функций:

а) $y = 7x + 16$ и $y = 7x - 25$;

б) $y = 3.5x - 4$ и $y = -5x - 4$;

в) $y = -2.8x$ и $y = -2.8x + 11$;

г) $y = 0.6x + 8$ и $y = -0.6x$?

В каждом случае изобразите схематически графики этих линейных функций.

Для определения взаимного расположения графиков двух линейных функций вида $y = kx + b$ необходимо сравнить их угловые коэффициенты $k$ и свободные члены $b$.

• Если угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), то графики функций параллельны.
• Если угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то графики функций пересекаются.
• Если и угловые коэффициенты, и свободные члены равны ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), то графики совпадают.

а) $y = 7x + 16$ и $y = 7x - 25$

Для первой функции $y_1 = 7x + 16$ угловой коэффициент $k_1 = 7$ и свободный член $b_1 = 16$.
Для второй функции $y_2 = 7x - 25$ угловой коэффициент $k_2 = 7$ и свободный член $b_2 = -25$.
Так как угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2 = 7$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), то графики этих функций параллельны.
Оба графика имеют положительный угловой коэффициент, значит, они являются возрастающими. График $y = 7x + 16$ пересекает ось OY в точке $(0, 16)$, а график $y = 7x - 25$ — в точке $(0, -25)$.

Ответ: графики функций параллельны.

б) $y = 3,5x - 4$ и $y = -5x - 4$

Для первой функции $y_1 = 3,5x - 4$ угловой коэффициент $k_1 = 3,5$ и свободный член $b_1 = -4$.
Для второй функции $y_2 = -5x - 4$ угловой коэффициент $k_2 = -5$ и свободный член $b_2 = -4$.
Так как угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то графики этих функций пересекаются.
Поскольку свободные члены равны ($b_1 = b_2 = -4$), графики пересекаются на оси OY в точке с координатами $(0, -4)$. График первой функции возрастающий ($k_1 > 0$), а второй — убывающий ($k_2 < 0$).

Ответ: графики функций пересекаются в точке $(0, -4)$.

в) $y = -2,8x$ и $y = -2,8x + 11$

Для первой функции $y_1 = -2,8x$ (или $y = -2,8x + 0$) угловой коэффициент $k_1 = -2,8$ и свободный член $b_1 = 0$.
Для второй функции $y_2 = -2,8x + 11$ угловой коэффициент $k_2 = -2,8$ и свободный член $b_2 = 11$.
Так как угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2 = -2,8$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), то графики этих функций параллельны.
Оба графика имеют отрицательный угловой коэффициент, значит, они являются убывающими. График $y = -2,8x$ проходит через начало координат $(0, 0)$, а график $y = -2,8x + 11$ пересекает ось OY в точке $(0, 11)$.

Ответ: графики функций параллельны.

г) $y = 0,6x + 8$ и $y = -0,6x$

Для первой функции $y_1 = 0,6x + 8$ угловой коэффициент $k_1 = 0,6$ и свободный член $b_1 = 8$.
Для второй функции $y_2 = -0,6x$ (или $y = -0,6x + 0$) угловой коэффициент $k_2 = -0,6$ и свободный член $b_2 = 0$.
Так как угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то графики этих функций пересекаются.
Найдем точку пересечения, приравняв правые части уравнений:
$0,6x + 8 = -0,6x$
$1,2x = -8$
$x = -8 / 1,2 = -80 / 12 = -20 / 3$
Подставим значение $x$ во второе уравнение:
$y = -0,6 \cdot (-20/3) = -(6/10) \cdot (-20/3) = 120 / 30 = 4$
Точка пересечения имеет координаты $(-20/3, 4)$.
График первой функции возрастающий ($k_1 > 0$) и пересекает ось OY в точке $(0, 8)$. График второй функции убывающий ($k_2 < 0$) и проходит через начало координат $(0, 0)$.

Ответ: графики функций пересекаются в точке $(-20/3, 4)$.

1025. Функция задана формулой $y = -x^2 + 3$.

Какова область определения этой функции?

Найдётся ли такое значение аргумента, при котором значение этой функции равно -1; 1; 5?

Постройте график этой функции и укажите её область значений.

Какова область определения этой функции?

Функция задана формулой $y = -x^2 + 3$. Это квадратичная функция, которая является частным случаем многочлена. Выражение $-x^2 + 3$ имеет смысл при любом значении переменной $x$, так как в нем нет операций, накладывающих ограничения на значения аргумента (таких как деление на ноль или извлечение корня четной степени из отрицательного числа). Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдётся ли такое значение аргумента, при котором значение этой функции равно –1; 1; 5?

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция $y$ принимает заданные значения, подставим эти значения в формулу функции и решим получившиеся уравнения.

1. Пусть $y = -1$:
$-1 = -x^2 + 3$
$x^2 = 3 + 1$
$x^2 = 4$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Да, такие значения аргумента существуют.

2. Пусть $y = 1$:
$1 = -x^2 + 3$
$x^2 = 3 - 1$
$x^2 = 2$
$x_1 = \sqrt{2}$, $x_2 = -\sqrt{2}$.
Да, такие значения аргумента существуют.

3. Пусть $y = 5$:
$5 = -x^2 + 3$
$x^2 = 3 - 5$
$x^2 = -2$.
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Нет, такого значения аргумента не существует.

Ответ: при $y = -1$ значение аргумента $x = \pm2$; при $y = 1$ значение аргумента $x = \pm\sqrt{2}$; не существует такого значения аргумента, при котором значение функции равно 5.

Постройте график этой функции и укажите её область значений.

Графиком функции $y = -x^2 + 3$ является парабола. Построим её по ключевым точкам.

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$. Так как он отрицательный ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины. Вершина параболы вида $y = ax^2+bx+c$ находится в точке $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=-1, b=0, c=3$, поэтому $x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
Ордината вершины: $y_0 = -(0)^2 + 3 = 3$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0; 3)$. Это точка максимума функции.

3. Ось симметрии. Осью симметрии параболы является прямая $x = x_0$, то есть $x = 0$ (ось ординат $Oy$).

4. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью $Oy$: при $x=0$, $y=3$. Точка $(0; 3)$ (совпадает с вершиной).
Пересечение с осью $Ox$ (нули функции): при $y=0$, получаем уравнение $0 = -x^2 + 3$.
$x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$.
Точки пересечения с осью $Ox$: $(-\sqrt{3}; 0)$ и $(\sqrt{3}; 0)$. (Приблизительно $(-1.73; 0)$ и $(1.73; 0)$).

5. Дополнительные точки. Для более точного построения найдем еще несколько точек, используя симметрию графика.
Если $x = 1$, то $y = -(1)^2 + 3 = 2$. Точка $(1; 2)$. Симметричная ей точка $(-1; 2)$.
Если $x = 2$, то $y = -(2)^2 + 3 = -1$. Точка $(2; -1)$. Симметричная ей точка $(-2; -1)$.

Для построения графика необходимо нанести на координатную плоскость вершину $(0; 3)$, точки пересечения с осями и дополнительные точки, после чего соединить их плавной кривой.

Область значений. Поскольку ветви параболы направлены вниз, а её вершина находится в точке $(0; 3)$, максимальное значение функции равно 3. Функция принимает все значения, не превышающие 3.

Ответ: область значений функции $E(y) = (-\infty; 3]$.

1026. Постройте график функции $y = -0.5x^2 + x + 1.5$. При каких значениях $x$ значение $y$ равно нулю; больше нуля; меньше нуля? В каком промежутке эта функция возрастает и в каком промежутке убывает? Каково наибольшее значение этой функции?

Постройте график функции $y = -0,5x^2 + x + 1,5$.

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -0,5$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдём его ключевые точки:

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам:
$x_0 = -b / (2a) = -1 / (2 \cdot (-0,5)) = -1 / (-1) = 1$.
$y_0 = -0,5 \cdot (1)^2 + 1 + 1,5 = -0,5 + 1 + 1,5 = 2$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 2)$. Прямая $x=1$ является осью симметрии параболы.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $y = -0,5 \cdot 0^2 + 0 + 1,5 = 1,5$. Точка пересечения — $(0; 1,5)$.
С осью Ox (при $y=0$): $-0,5x^2 + x + 1,5 = 0$.
Умножим уравнение на -2 для удобства вычислений:
$x^2 - 2x - 3 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
$x_1 = (2 - \sqrt{16}) / 2 = (2 - 4) / 2 = -1$.
$x_2 = (2 + \sqrt{16}) / 2 = (2 + 4) / 2 = 3$.
Точки пересечения с осью Ox — это $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

3. Дополнительные точки.
Используя ось симметрии $x=1$, найдём точку, симметричную точке $(0; 1,5)$. Это точка $(2; 1,5)$.
Найдём значение функции при $x=4$: $y = -0,5 \cdot 4^2 + 4 + 1,5 = -0,5 \cdot 16 + 5,5 = -8 + 5,5 = -2,5$. Точка $(4; -2,5)$.

Нанеся точки $(-1, 0)$, $(3, 0)$, $(0; 1,5)$, $(1, 2)$, $(2; 1,5)$, $(4; -2,5)$ на координатную плоскость и соединив их плавной линией, мы построим график функции.

Ответ: График функции — это парабола с ветвями, направленными вниз, с вершиной в точке $(1, 2)$, пересекающая ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(3, 0)$ и ось Oy в точке $(0; 1,5)$.

При каких значениях $x$ значение $y$ равно нулю; больше нуля; меньше нуля?

Анализ проведём на основе построенного графика и найденных ранее точек.

1. Значение $y$ равно нулю в точках пересечения графика с осью Ox (нули функции). Мы нашли их, решив уравнение $-0,5x^2 + x + 1,5 = 0$. Это происходит при $x = -1$ и $x = 3$.

2. Значение $y$ больше нуля ($y > 0$) на том промежутке оси $x$, где график функции расположен выше оси Ox. Так как ветви параболы направлены вниз, это интервал между корнями. Таким образом, $y > 0$ при $x \in (-1, 3)$.

3. Значение $y$ меньше нуля ($y < 0$) на тех промежутках оси $x$, где график функции расположен ниже оси Ox. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня. Таким образом, $y < 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $y=0$ при $x=-1$ и $x=3$; $y>0$ при $x \in (-1, 3)$; $y<0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$.

В каком промежутке эта функция возрастает и в каком промежутке убывает?

Так как ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке до вершины и убывает после неё. Абсцисса вершины параболы $x_0 = 1$.
Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$.
Функция убывает на промежутке $[1, +\infty)$.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$ и убывает на промежутке $[1, +\infty)$.

Каково наибольшее значение этой функции?

Поскольку ветви параболы направлены вниз, своего наибольшего значения функция достигает в вершине. Ордината (значение $y$) вершины параболы равна 2.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 2.

1027. Постройте график функции $y = x^2 - 4x - 5$. При каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения? Какие значения принимает функция, если $0 \le x \le 4$?

Постройте график функции y = x² - 4x - 5.

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Общий вид уравнения $y = ax^2 + bx + c$. В нашем случае $a=1$, $b=-4$, $c=-5$. Поскольку коэффициент $a=1>0$, ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем его ключевые характеристики:

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ находятся по формулам:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$
$y_v = y(x_v) = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(2, -9)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью ординат (Oy): для этого подставляем $x=0$.
$y(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка пересечения — $(0, -5)$.
С осью абсцисс (Ox): для этого решаем уравнение $y=0$, то есть $x^2 - 4x - 5 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$.
Точки пересечения — $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.

3. Дополнительные точки.
Ось симметрии параболы — это прямая $x = 2$. Найдем точку, симметричную точке $(0, -5)$ относительно оси симметрии. Ее абсцисса будет равна 4.
$y(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 - 5 = 16 - 16 - 5 = -5$. Точка — $(4, -5)$.
Для большей точности можно найти еще пару точек, например, при $x=1$:
$y(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 - 5 = 1 - 4 - 5 = -8$. Точка — $(1, -8)$.

Ответ: Для построения графика отмечаем на координатной плоскости вершину $(2, -9)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(5, 0)$, $(0, -5)$ и дополнительные точки, например $(4, -5)$ и $(1, -8)$. Затем соединяем эти точки плавной кривой, получая параболу с ветвями вверх.

При каких значениях x функция принимает отрицательные значения?

Функция принимает отрицательные значения, когда $y < 0$, то есть $x^2 - 4x - 5 < 0$.

Графиком функции является парабола с ветвями вверх, которая пересекает ось Ox в точках $x=-1$ и $x=5$. Это означает, что значения функции отрицательны (график находится ниже оси Ox) на интервале между точками пересечения.

Следовательно, $y < 0$ при $-1 < x < 5$.

Ответ: $x \in (-1, 5)$.

Какие значения принимает функция, если 0 ≤ x ≤ 4?

Требуется найти область значений функции $y = x^2 - 4x - 5$ на отрезке $[0, 4]$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, свое наименьшее значение функция достигает в вершине. Абсцисса вершины $x_v = 2$ принадлежит отрезку $[0, 4]$.

Наименьшее значение функции на данном отрезке равно значению в вершине:
$y_{min} = y(2) = -9$.

Наибольшее значение на отрезке функция примет на одном из его концов. Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=4$:
$y(0) = -5$.
$y(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 - 5 = 16 - 16 - 5 = -5$.

Наибольшее значение на отрезке равно $-5$.

Таким образом, при $x \in [0, 4]$ функция принимает значения от $-9$ до $-5$ включительно.

Ответ: $y \in [-9, -5]$.

1028. Постройте график функции:

а) $y = 2x^2 - 2$;

б) $y = -x^2 + 1.5$;

в) $y = x^2 - 4x$;

г) $y = 1.5x^2 + 6x$;

д) $y = x^2 + x - 6$;

е) $y = 3x^2 - 6x + 5.

В каждом случае укажите наименьшее (или наибольшее) значение функции.

Для построения графика каждой квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ и нахождения ее наименьшего или наибольшего значения, мы будем следовать общему плану:

1. Определить направление ветвей параболы по знаку коэффициента $a$. Если $a > 0$, ветви направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение. Если $a < 0$, ветви направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение.
2. Найти координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$. Значение $y_0$ и будет наименьшим или наибольшим значением функции.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат: с осью OY (полагая $x=0$) и с осью OX (полагая $y=0$).
4. Найти несколько дополнительных точек для более точного построения графика.
5. Построить график, соединив полученные точки плавной кривой.

а) $y = 2x^2 - 2$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 2$, $b = 0$, $c = -2$.
1. Направление ветвей. Так как $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение.
2. Координаты вершины. $x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$. $y_0 = 2(0)^2 - 2 = -2$. Вершина находится в точке $(0, -2)$.
3. Точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y = -2$. Точка $(0, -2)$.
С осью OX: при $y=0$, $2x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. Точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.
4. Дополнительные точки. При $x=2$, $y = 2(2)^2 - 2 = 6$. Точка $(2, 6)$. Симметричная ей точка $(-2, 6)$.
5. Построение. Строим параболу с вершиной в $(0, -2)$, проходящую через точки $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(-2, 6)$, $(2, 6)$.
Наименьшее значение функции достигается в вершине и равно $y_0 = -2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -2.

б) $y = -x^2 + 1,5$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -1$, $b = 0$, $c = 1,5$.
1. Направление ветвей. Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция имеет наибольшее значение.
2. Координаты вершины. $x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$. $y_0 = -(0)^2 + 1,5 = 1,5$. Вершина находится в точке $(0, 1,5)$.
3. Точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y = 1,5$. Точка $(0, 1,5)$.
С осью OX: при $y=0$, $-x^2 + 1,5 = 0 \implies x^2 = 1,5 \implies x = \pm \sqrt{1,5} \approx \pm 1,22$. Точки $(-\sqrt{1,5}, 0)$ и $(\sqrt{1,5}, 0)$.
4. Дополнительные точки. При $x=1$, $y = -(1)^2 + 1,5 = 0,5$. Точка $(1, 0,5)$. Симметричная ей точка $(-1, 0,5)$.
5. Построение. Строим параболу с вершиной в $(0, 1,5)$, проходящую через точки $(\pm \sqrt{1,5}, 0)$, $(\pm 1, 0,5)$.
Наибольшее значение функции достигается в вершине и равно $y_0 = 1,5$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 1,5.

в) $y = x^2 - 4x$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 1$, $b = -4$, $c = 0$.
1. Направление ветвей. Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение.
2. Координаты вершины. $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. $y_0 = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$. Вершина находится в точке $(2, -4)$.
3. Точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью OX: при $y=0$, $x^2 - 4x = 0 \implies x(x-4) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 4$. Точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$.
4. Построение. Строим параболу с вершиной в $(2, -4)$, проходящую через точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$. Ось симметрии $x=2$.
Наименьшее значение функции достигается в вершине и равно $y_0 = -4$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -4.

г) $y = 1,5x^2 + 6x$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 1,5$, $b = 6$, $c = 0$.
1. Направление ветвей. Так как $a = 1,5 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение.
2. Координаты вершины. $x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1,5} = -\frac{6}{3} = -2$. $y_0 = 1,5(-2)^2 + 6(-2) = 1,5 \cdot 4 - 12 = 6 - 12 = -6$. Вершина находится в точке $(-2, -6)$.
3. Точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью OX: при $y=0$, $1,5x^2 + 6x = 0 \implies x(1,5x + 6) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = -4$. Точки $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.
4. Построение. Строим параболу с вершиной в $(-2, -6)$, проходящую через точки $(0, 0)$ и $(-4, 0)$. Ось симметрии $x=-2$.
Наименьшее значение функции достигается в вершине и равно $y_0 = -6$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -6.

д) $y = x^2 + x - 6$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 1$, $b = 1$, $c = -6$.
1. Направление ветвей. Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение.
2. Координаты вершины. $x_0 = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0,5$. $y_0 = (-0,5)^2 + (-0,5) - 6 = 0,25 - 0,5 - 6 = -6,25$. Вершина находится в точке $(-0,5, -6,25)$.
3. Точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y = -6$. Точка $(0, -6)$.
С осью OX: при $y=0$, $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета $x_1 = 2, x_2 = -3$. Точки $(2, 0)$ и $(-3, 0)$.
4. Построение. Строим параболу с вершиной в $(-0,5, -6,25)$, проходящую через точки $(0, -6)$, $(2, 0)$, $(-3, 0)$.
Наименьшее значение функции достигается в вершине и равно $y_0 = -6,25$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -6,25.

е) $y = 3x^2 - 6x + 5$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 3$, $b = -6$, $c = 5$.
1. Направление ветвей. Так как $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение.
2. Координаты вершины. $x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$. $y_0 = 3(1)^2 - 6(1) + 5 = 3 - 6 + 5 = 2$. Вершина находится в точке $(1, 2)$.
3. Точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y = 5$. Точка $(0, 5)$.
С осью OX: при $y=0$, $3x^2 - 6x + 5 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 36 - 60 = -24 < 0$. Действительных корней нет, парабола не пересекает ось OX.
4. Дополнительные точки. Ось симметрии $x=1$. Точка $(0, 5)$ симметрична точке $(2, 5)$.
5. Построение. Строим параболу с вершиной в $(1, 2)$, проходящую через точки $(0, 5)$ и $(2, 5)$.
Наименьшее значение функции достигается в вершине и равно $y_0 = 2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 2.

1029. В каком промежутке возрастает и в каком убывает квадратичная функция:

a) $y = 2x^2 + 10x - 7;$

б) $y = -3x^2 + x + 5;$

в) $y = 4x^2 + 2x;$

г) $y = 3x - 5x^2?$

Для определения промежутков возрастания и убывания квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$ нужно найти абсциссу вершины параболы, которая вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Характер монотонности функции зависит от знака старшего коэффициента $a$.

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция убывает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и возрастает на промежутке $[x_0, +\infty)$.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. В этом случае функция возрастает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и убывает на промежутке $[x_0, +\infty)$.

а) $y = 2x^2 + 10x - 7$

В данной функции коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 10$, $c = -7$.

Поскольку $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция сначала убывает до вершины, а затем возрастает.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot 2} = -\frac{10}{4} = -2.5$.

Следовательно, функция убывает при $x \in (-\infty, -2.5]$ и возрастает при $x \in [-2.5, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2.5, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, -2.5]$.

б) $y = -3x^2 + x + 5$

Здесь коэффициенты: $a = -3$, $b = 1$, $c = 5$.

Так как $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция сначала возрастает до вершины, а затем убывает.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-3)} = -\frac{1}{-6} = \frac{1}{6}$.

Следовательно, функция возрастает при $x \in (-\infty, \frac{1}{6}]$ и убывает при $x \in [\frac{1}{6}, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, \frac{1}{6}]$ и убывает на промежутке $[\frac{1}{6}, +\infty)$.

в) $y = 4x^2 + 2x$

Коэффициенты функции: $a = 4$, $b = 2$, $c = 0$.

Так как $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает до вершины, после чего возрастает.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 4} = -\frac{2}{8} = -0.25$.

Следовательно, функция убывает при $x \in (-\infty, -0.25]$ и возрастает при $x \in [-0.25, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-0.25, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, -0.25]$.

г) $y = 3x - 5x^2$

Представим функцию в стандартном виде: $y = -5x^2 + 3x$.

Коэффициенты: $a = -5$, $b = 3$, $c = 0$.

Поскольку $a = -5 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция возрастает до вершины, а затем убывает.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-5)} = -\frac{3}{-10} = 0.3$.

Следовательно, функция возрастает при $x \in (-\infty, 0.3]$ и убывает при $x \in [0.3, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0.3]$ и убывает на промежутке $[0.3, +\infty)$.

1030. Постройте график функции:

a) $y = \frac{8}{x}$;

б) $y = -\frac{3}{x}$.

В каждом случае укажите значения $x$, при которых $y > 0$; $y < 0$.

а) $y = \frac{8}{x}$

1. Построение графика.
Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k=8$. Графиком такой функции является гипербола. Поскольку $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Основные свойства функции:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, т.е. все действительные числа, кроме $x=0$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, т.е. все действительные числа, кроме $y=0$.
- Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек.

Для ветви в I четверти ($x>0$):
При $x=1$, $y=8$. Точка $(1; 8)$.
При $x=2$, $y=4$. Точка $(2; 4)$.
При $x=4$, $y=2$. Точка $(4; 2)$.
При $x=8$, $y=1$. Точка $(8; 1)$.

Для ветви в III четверти ($x<0$):
При $x=-1$, $y=-8$. Точка $(-1; -8)$.
При $x=-2$, $y=-4$. Точка $(-2; -4)$.
При $x=-4$, $y=-2$. Точка $(-4; -2)$.
При $x=-8$, $y=-1$. Точка $(-8; -1)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными кривыми, которые приближаются к осям координат, получим график гиперболы.

2. Определение знаков функции.
Найдём значения $x$, при которых $y > 0$:
Неравенство $\frac{8}{x} > 0$ справедливо, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как числитель $8$ положителен, знаменатель $x$ также должен быть положителен. Таким образом, $y > 0$ при $x > 0$.

Найдём значения $x$, при которых $y < 0$:
Неравенство $\frac{8}{x} < 0$ справедливо, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как числитель $8$ положителен, знаменатель $x$ должен быть отрицателен. Таким образом, $y < 0$ при $x < 0$.

Ответ: График функции — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

б) $y = -\frac{3}{x}$

1. Построение графика.
Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k=-3$. Графиком является гипербола. Поскольку $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Основные свойства функции аналогичны предыдущему случаю:
- Область определения: $x \neq 0$.
- Область значений: $y \neq 0$.
- Асимптоты: оси координат $x=0$ и $y=0$.

Составим таблицу значений для построения графика.

Для ветви во II четверти ($x<0$):
При $x=-1$, $y = - \frac{3}{-1} = 3$. Точка $(-1; 3)$.
При $x=-3$, $y = - \frac{3}{-3} = 1$. Точка $(-3; 1)$.
При $x=-0.5$, $y = - \frac{3}{-0.5} = 6$. Точка $(-0.5; 6)$.

Для ветви в IV четверти ($x>0$):
При $x=1$, $y = - \frac{3}{1} = -3$. Точка $(1; -3)$.
При $x=3$, $y = - \frac{3}{3} = -1$. Точка $(3; -1)$.
При $x=0.5$, $y = - \frac{3}{0.5} = -6$. Точка $(0.5; -6)$.

Отметив эти точки и соединив их плавными кривыми, приближающимися к осям, получим график гиперболы.

2. Определение знаков функции.
Найдём значения $x$, при которых $y > 0$:
$-\frac{3}{x} > 0$. Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак на противоположный: $\frac{3}{x} < 0$. Так как числитель $3$ положителен, дробь будет отрицательной, если знаменатель $x$ отрицателен. Таким образом, $y > 0$ при $x < 0$.

Найдём значения $x$, при которых $y < 0$:
$-\frac{3}{x} < 0$. Умножим обе части на $-1$: $\frac{3}{x} > 0$. Так как числитель $3$ положителен, дробь будет положительной, если знаменатель $x$ также положителен. Таким образом, $y < 0$ при $x > 0$.

Ответ: График функции — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

1031. Изобразите схематически график функции:

а) $y = ax + 5$ при $a < 0$;

б) $y = 10x + b$ при $b > 0$;

в) $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$;

г) $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$;

д) $y = ax^2 - 3$ при $a > 0$;

е) $y = ax^2 + 2$ при $a < 0$;

ж) $y = ax^2 + bx$ при $a > 0, b > 0$;

з) $y = ax^2 + bx$ при $a < 0, b > 0$.

а) Функция $y = ax + 5$ при $a < 0$ является линейной, ее график — прямая. Угловой коэффициент $a$ отрицателен, следовательно, функция убывает, и прямая наклонена вниз при движении слева направо. Свободный член равен 5, значит, прямая пересекает ось ординат (ось $Oy$) в точке $(0, 5)$.
Ответ: Прямая, проходящая через точку $(0, 5)$ и наклоненная вниз (убывающая). График расположен в I, II и IV координатных четвертях.

б) Функция $y = 10x + b$ при $b > 0$ является линейной, ее график — прямая. Угловой коэффициент равен 10 (положительное число), следовательно, функция возрастает, и прямая наклонена вверх. Свободный член $b$ положителен, значит, прямая пересекает ось ординат (ось $Oy$) в точке $(0, b)$, расположенной выше начала координат.
Ответ: Прямая, наклоненная вверх (возрастающая), пересекающая ось $Oy$ в точке с положительной ординатой. График расположен в I, II и III координатных четвертях.

в) Функция $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ является обратной пропорциональностью, ее график — гипербола. Поскольку коэффициент $k$ положителен, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях. Оси координат служат асимптотами для графика.
Ответ: Гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.

г) Функция $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$ является обратной пропорциональностью, ее график — гипербола. Поскольку коэффициент $k$ отрицателен, ветви гиперболы находятся во II и IV координатных четвертях. Оси координат служат асимптотами для графика.
Ответ: Гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях.

д) Функция $y = ax^2 - 3$ при $a > 0$ является квадратичной, ее график — парабола. Так как старший коэффициент $a$ положителен, ветви параболы направлены вверх. График функции $y = ax^2$ сдвинут на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0, -3)$.
Ответ: Парабола с вершиной в точке $(0, -3)$ и ветвями, направленными вверх.

е) Функция $y = ax^2 + 2$ при $a < 0$ является квадратичной, ее график — парабола. Так как старший коэффициент $a$ отрицателен, ветви параболы направлены вниз. График функции $y = ax^2$ сдвинут на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$.
Ответ: Парабола с вершиной в точке $(0, 2)$ и ветвями, направленными вниз.

ж) Функция $y = ax^2 + bx$ при $a > 0, b > 0$ является квадратичной, ее график — парабола. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Абсцисса вершины параболы $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, то $x_0 < 0$. Парабола проходит через начало координат $(0, 0)$, так как при $x=0$, $y=0$. Вершина параболы, являясь точкой минимума, будет иметь отрицательную ординату. Таким образом, вершина находится в III координатной четверти.
Ответ: Парабола, проходящая через начало координат, с ветвями вверх и вершиной в III координатной четверти.

з) Функция $y = ax^2 + bx$ при $a < 0, b > 0$ является квадратичной, ее график — парабола. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Абсцисса вершины параболы $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Поскольку $a < 0$ и $b > 0$, то $x_0 > 0$. Парабола проходит через начало координат $(0, 0)$. Вершина параболы, являясь точкой максимума, будет иметь положительную ординату. Таким образом, вершина находится в I координатной четверти.
Ответ: Парабола, проходящая через начало координат, с ветвями вниз и вершиной в I координатной четверти.