Страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1059. Знаменатель обыкновенной дроби меньше квадрата её числителя на 1. Если числитель и знаменатель этой дроби увеличить на 2, то значение дроби станет больше $1/4$, а если числитель и знаменатель уменьшить на 3, то значение дроби станет меньше $1/10$. Найдите такие дроби.

Пусть числитель искомой обыкновенной дроби равен $x$, а знаменатель — $y$. Предполагается, что $x$ и $y$ — натуральные числа, так как речь идет об обыкновенной дроби и ее числитель и знаменатель изменяются на целые числа. Таким образом, дробь имеет вид $\frac{x}{y}$.

1. Составление математической модели по условиям задачи.

Из условия "знаменатель обыкновенной дроби меньше квадрата её числителя на 1" следует уравнение:

$y = x^2 - 1$

Так как $y$ должен быть натуральным числом ($y > 0$), то $x^2 - 1 > 0$, что означает $x^2 > 1$. Поскольку $x$ — натуральное число, это условие выполняется при $x \ge 2$.

Из условия "если числитель и знаменатель этой дроби увеличить на 2, то значение дроби станет больше $\frac{1}{4}$" следует неравенство:

$\frac{x+2}{y+2} > \frac{1}{4}$

Из условия "если числитель и знаменатель уменьшить на 3, то значение дроби станет меньше $\frac{1}{10}$" следует неравенство:

$\frac{x-3}{y-3} < \frac{1}{10}$

Для того чтобы дробь $\frac{x-3}{y-3}$ была определена и положительна, необходимо, чтобы ее числитель и знаменатель были положительными: $x-3 > 0$ и $y-3 > 0$. Из $x-3>0$ следует $x>3$. Из $y-3>0$ и $y = x^2-1$ следует $(x^2-1)-3 > 0$, то есть $x^2 > 4$, что для натурального $x$ означает $x>2$. Объединяя все ограничения на $x$ ($x \ge 2$, $x > 3$), получаем, что $x$ — натуральное число, и $x \ge 4$.

2. Решение системы неравенств.

Подставим выражение $y = x^2 - 1$ в оба неравенства, чтобы получить систему относительно переменной $x$:

1) $\frac{x+2}{(x^2 - 1) + 2} > \frac{1}{4} \implies \frac{x+2}{x^2 + 1} > \frac{1}{4}$

2) $\frac{x-3}{(x^2 - 1) - 3} < \frac{1}{10} \implies \frac{x-3}{x^2 - 4} < \frac{1}{10}$

Решим первое неравенство. Так как при $x \ge 4$ знаменатель $x^2+1$ положителен, мы можем умножить обе части неравенства на $4(x^2+1)$ без изменения знака:

$4(x+2) > 1(x^2+1)$

$4x + 8 > x^2 + 1$

$0 > x^2 - 4x - 7$ или $x^2 - 4x - 7 < 0$

Для решения найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x - 7 = 0$. Используя формулу для корней, получаем:

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 28}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 2 \pm \sqrt{11}$

График функции $f(x)=x^2 - 4x - 7$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями: $2 - \sqrt{11} < x < 2 + \sqrt{11}$.

Теперь решим второе неравенство. При $x \ge 4$ и числитель $x-3$, и знаменатель $x^2-4$ положительны. Умножим обе части на $10(x^2-4)$:

$10(x-3) < 1(x^2-4)$

$10x - 30 < x^2 - 4$

$0 < x^2 - 10x + 26$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 10x + 26$: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 26 = 100 - 104 = -4$.Поскольку дискриминант отрицательный, а старший коэффициент ($1$) положительный, трехчлен $x^2 - 10x + 26$ всегда положителен. Таким образом, второе неравенство выполняется для всех $x$, удовлетворяющих области определения ($x \ge 4$).

3. Определение искомых дробей.

Мы ищем натуральные числа $x$, которые удовлетворяют всем найденным условиям одновременно: $x \ge 4$ и $2 - \sqrt{11} < x < 2 + \sqrt{11}$.

Оценим числовые границы. Так как $3^2=9$ и $4^2=16$, то $3 < \sqrt{11} < 4$.Следовательно, $2+\sqrt{11}$ находится в интервале $(2+3, 2+4) = (5, 6)$.Значение $2-\sqrt{11}$ очевидно отрицательно.Таким образом, мы ищем натуральные числа $x$, для которых $4 \le x < 2+\sqrt{11}$. Единственные целые числа в этом диапазоне — это $4$ и $5$.

Рассмотрим оба случая:

Случай 1: $x = 4$

Знаменатель $y = x^2 - 1 = 4^2 - 1 = 15$. Искомая дробь — $\frac{4}{15}$.
Проверка условий:$\frac{4+2}{15+2} = \frac{6}{17}$. Сравнение: $\frac{6}{17} > \frac{1}{4}$ (так как $6 \cdot 4 = 24 > 17 \cdot 1 = 17$). Верно.$\frac{4-3}{15-3} = \frac{1}{12}$. Сравнение: $\frac{1}{12} < \frac{1}{10}$ (так как $12 > 10$). Верно.

Случай 2: $x = 5$

Знаменатель $y = x^2 - 1 = 5^2 - 1 = 24$. Искомая дробь — $\frac{5}{24}$.
Проверка условий:$\frac{5+2}{24+2} = \frac{7}{26}$. Сравнение: $\frac{7}{26} > \frac{1}{4}$ (так как $7 \cdot 4 = 28 > 26 \cdot 1 = 26$). Верно.$\frac{5-3}{24-3} = \frac{2}{21}$. Сравнение: $\frac{2}{21} < \frac{1}{10}$ (так как $2 \cdot 10 = 20 < 21 \cdot 1 = 21$). Верно.

Обе дроби удовлетворяют всем условиям задачи.

Ответ: $\frac{4}{15}$ и $\frac{5}{24}$.

1060. Решите систему уравнений

$\begin{cases}x + xy + y = 5, \\y + yz + z = 11, \\z + zx + x = 7.\end{cases}$

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x + xy + y = 5, \\y + yz + z = 11, \\z + zx + x = 7.\end{cases}$

Для решения этой системы преобразуем каждое уравнение. Прибавим 1 к обеим частям каждого уравнения, что позволит разложить левую часть на множители.

Первое уравнение:

$x + xy + y + 1 = 5 + 1$

$x(y + 1) + (y + 1) = 6$

$(x + 1)(y + 1) = 6$

Второе уравнение:

$y + yz + z + 1 = 11 + 1$

$y(z + 1) + (z + 1) = 12$

$(y + 1)(z + 1) = 12$

Третье уравнение:

$z + zx + x + 1 = 7 + 1$

$z(x + 1) + (x + 1) = 8$

$(z + 1)(x + 1) = 8$

В результате мы получили эквивалентную систему уравнений:

$\begin{cases} (x + 1)(y + 1) = 6, \\(y + 1)(z + 1) = 12, \\(z + 1)(x + 1) = 8.\end{cases}$

Теперь перемножим все три уравнения новой системы:

$((x + 1)(y + 1)) \cdot ((y + 1)(z + 1)) \cdot ((z + 1)(x + 1)) = 6 \cdot 12 \cdot 8$

$(x + 1)^2 (y + 1)^2 (z + 1)^2 = 576$

$((x + 1)(y + 1)(z + 1))^2 = 576$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая для произведения $(x + 1)(y + 1)(z + 1)$:

1) $(x + 1)(y + 1)(z + 1) = 24$

2) $(x + 1)(y + 1)(z + 1) = -24$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $(x + 1)(y + 1)(z + 1) = 24$.

Разделим это уравнение на каждое из уравнений преобразованной системы:

Чтобы найти $z$, разделим на $(x + 1)(y + 1) = 6$:
$\frac{(x + 1)(y + 1)(z + 1)}{(x + 1)(y + 1)} = \frac{24}{6} \implies z + 1 = 4 \implies z = 3$.

Чтобы найти $x$, разделим на $(y + 1)(z + 1) = 12$:
$\frac{(x + 1)(y + 1)(z + 1)}{(y + 1)(z + 1)} = \frac{24}{12} \implies x + 1 = 2 \implies x = 1$.

Чтобы найти $y$, разделим на $(z + 1)(x + 1) = 8$:
$\frac{(x + 1)(y + 1)(z + 1)}{(z + 1)(x + 1)} = \frac{24}{8} \implies y + 1 = 3 \implies y = 2$.

Таким образом, первое решение системы: $(1, 2, 3)$.

Случай 2: $(x + 1)(y + 1)(z + 1) = -24$.

Аналогично первому случаю, разделим это уравнение на каждое из уравнений преобразованной системы:

Чтобы найти $z$, разделим на $(x + 1)(y + 1) = 6$:
$\frac{(x + 1)(y + 1)(z + 1)}{(x + 1)(y + 1)} = \frac{-24}{6} \implies z + 1 = -4 \implies z = -5$.

Чтобы найти $x$, разделим на $(y + 1)(z + 1) = 12$:
$\frac{(x + 1)(y + 1)(z + 1)}{(y + 1)(z + 1)} = \frac{-24}{12} \implies x + 1 = -2 \implies x = -3$.

Чтобы найти $y$, разделим на $(z + 1)(x + 1) = 8$:
$\frac{(x + 1)(y + 1)(z + 1)}{(z + 1)(x + 1)} = \frac{-24}{8} \implies y + 1 = -3 \implies y = -4$.

Таким образом, второе решение системы: $(-3, -4, -5)$.

Проверка показывает, что оба набора решений удовлетворяют исходной системе уравнений.

Ответ: $(1, 2, 3)$, $(-3, -4, -5)$.

1061. Найдите значение $m$, при котором корни уравнения $x^3 - 9x^2 + mx - 15 = 0$ образуют арифметическую прогрессию.

Дано кубическое уравнение $x^3 - 9x^2 + mx - 15 = 0$.По условию, его корни $x_1, x_2, x_3$ образуют арифметическую прогрессию.Пусть эти корни равны $a - d, a, a + d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения вида $x^3 + px^2 + qx + r = 0$, согласно которой:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -p$
• Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = q$
• Произведение корней: $x_1x_2x_3 = -r$

В нашем уравнении коэффициенты равны: $p = -9$, $q = m$, $r = -15$.

1. Нахождение одного из корней
Применим первую формулу Виета для суммы корней:$x_1 + x_2 + x_3 = -(-9) = 9$.
Подставим в это равенство наши обозначения для корней:$(a - d) + a + (a + d) = 9$.
Упростим выражение:$3a = 9$.
Отсюда находим средний член прогрессии:$a = 3$.
Таким образом, один из корней уравнения равен 3.

2. Нахождение значения m
Поскольку $x = 3$ является корнем уравнения, он должен обращать уравнение в верное равенство при подстановке. Подставим $x = 3$ в исходное уравнение:$3^3 - 9 \cdot 3^2 + m \cdot 3 - 15 = 0$.
Выполним вычисления:$27 - 9 \cdot 9 + 3m - 15 = 0$;
$27 - 81 + 3m - 15 = 0$;
$-54 + 3m - 15 = 0$;
$3m - 69 = 0$;
$3m = 69$;
$m = \frac{69}{3}$;
$m = 23$.

Проверка (необязательно, но полезно)
Мы нашли $m=23$ и один из корней $a=3$. Теперь можем найти остальные корни, используя формулу Виета для произведения корней:$x_1x_2x_3 = -(-15) = 15$.
Подставляем наши обозначения:$(a - d) \cdot a \cdot (a + d) = 15$.
Подставляем известное значение $a=3$:$(3 - d) \cdot 3 \cdot (3 + d) = 15$.
$3 \cdot (9 - d^2) = 15$;
$9 - d^2 = 5$;
$d^2 = 4$, откуда $d = 2$ или $d = -2$.
Если $d=2$, корни равны $3-2=1$, $3$, $3+2=5$.Если $d=-2$, корни равны $3-(-2)=5$, $3$, $3+(-2)=1$.В обоих случаях набор корней один и тот же: $1, 3, 5$.
Теперь проверим значение $m$ по формуле для суммы попарных произведений:$m = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 5 + 3 \cdot 5 = 3 + 5 + 15 = 23$.
Значение $m=23$ подтвердилось.

Ответ: $m = 23$

1062. Докажите, что при любом $a$ выполняется неравенство

$$ \frac{1}{3} \le \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \le 3. $$

Для доказательства данного двойного неравенства необходимо доказать, что при любом $a$ одновременно выполняются два условия: 1) $ \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \ge \frac{1}{3} $ и 2) $ \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \le 3 $.

Прежде всего, рассмотрим знаменатель дроби $ a^2 + a + 1 $. Это квадратный трехчлен. Найдем его дискриминант: $ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 $. Так как дискриминант отрицателен ($ D < 0 $) и коэффициент при $ a^2 $ положителен ($1 > 0$), то выражение $ a^2 + a + 1 $ всегда принимает положительные значения при любом действительном $a$. Это позволяет нам умножать обе части неравенств на этот знаменатель, не меняя знака неравенства.

1. Докажем первое неравенство: $ \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \ge \frac{1}{3} $.

Умножим обе части на $ 3(a^2 + a + 1) $, которое всегда положительно:

$ 3(a^2 - a + 1) \ge a^2 + a + 1 $

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:

$ 3a^2 - 3a + 3 \ge a^2 + a + 1 $

$ 3a^2 - a^2 - 3a - a + 3 - 1 \ge 0 $

$ 2a^2 - 4a + 2 \ge 0 $

Разделим обе части на 2:

$ a^2 - 2a + 1 \ge 0 $

Левая часть представляет собой полный квадрат разности:

$ (a - 1)^2 \ge 0 $

Данное неравенство верно для любого действительного числа $a$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.

2. Докажем второе неравенство: $ \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \le 3 $.

Умножим обе части на $ a^2 + a + 1 $, которое всегда положительно:

$ a^2 - a + 1 \le 3(a^2 + a + 1) $

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в правую часть:

$ a^2 - a + 1 \le 3a^2 + 3a + 3 $

$ 0 \le 3a^2 - a^2 + 3a + a + 3 - 1 $

$ 0 \le 2a^2 + 4a + 2 $

Разделим обе части на 2:

$ 0 \le a^2 + 2a + 1 $

Правая часть представляет собой полный квадрат суммы:

$ 0 \le (a + 1)^2 $

Это неравенство также верно для любого действительного числа $a$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.

Поскольку оба неравенства, составляющие исходное двойное неравенство, выполняются для любого значения $a$, то и само исходное неравенство справедливо при любом $a$.

Ответ: Неравенство $ \frac{1}{3} \le \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \le 3 $ доказано.

1063. За сколько часов может выполнить работу каждый из трёх рабочих, если производительность труда третьего рабочего равна полусумме производительностей труда первого и второго? Известно, что если бы третий рабочий проработал один 48 ч, то для окончания работы первому потребовалось бы 10 ч, а второму — 15 ч.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Пусть весь объем работы равен 1.
• $p_1$, $p_2$, $p_3$ — производительности труда первого, второго и третьего рабочих соответственно (какую часть работы они выполняют за 1 час).
• $t_1$, $t_2$, $t_3$ — время (в часах), за которое каждый рабочий может выполнить всю работу в одиночку. Тогда $t_1 = 1/p_1$, $t_2 = 1/p_2$, $t_3 = 1/p_3$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

1. Производительность труда третьего рабочего равна полусумме производительностей труда первого и второго:

$p_3 = \frac{p_1 + p_2}{2}$

2. Если третий рабочий проработает 48 часов, он выполнит часть работы, равную $48 \cdot p_3$. Оставшаяся часть работы составит $1 - 48 \cdot p_3$.

Эту оставшуюся часть работы первый рабочий может выполнить за 10 часов, а второй — за 15 часов. Это дает нам еще два уравнения:

$10 \cdot p_1 = 1 - 48 \cdot p_3$

$15 \cdot p_2 = 1 - 48 \cdot p_3$

Получили систему из трёх уравнений:

$\begin{cases}p_3 = \frac{p_1 + p_2}{2} \\10p_1 = 1 - 48p_3 \\15p_2 = 1 - 48p_3\end{cases}$

Из второго и третьего уравнений следует, что $10p_1 = 15p_2$. Выразим $p_1$ через $p_2$:

$p_1 = \frac{15}{10}p_2 = 1.5p_2$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$p_3 = \frac{1.5p_2 + p_2}{2} = \frac{2.5p_2}{2} = 1.25p_2$

Теперь у нас все производительности выражены через $p_2$. Подставим выражение для $p_3$ в третье уравнение системы:

$15p_2 = 1 - 48p_3 \implies 15p_2 = 1 - 48(1.25p_2)$

Решим это уравнение относительно $p_2$:

$15p_2 = 1 - 60p_2$

$15p_2 + 60p_2 = 1$

$75p_2 = 1$

$p_2 = \frac{1}{75}$

Теперь, зная $p_2$, найдем производительности остальных рабочих:

$p_1 = 1.5p_2 = 1.5 \cdot \frac{1}{75} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{75} = \frac{3}{150} = \frac{1}{50}$

$p_3 = 1.25p_2 = 1.25 \cdot \frac{1}{75} = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{75} = \frac{5}{300} = \frac{1}{60}$

Наконец, найдем время, за которое каждый рабочий выполнит всю работу:

• Для первого рабочего: $t_1 = \frac{1}{p_1} = \frac{1}{1/50} = 50$ часов.
• Для второго рабочего: $t_2 = \frac{1}{p_2} = \frac{1}{1/75} = 75$ часов.
• Для третьего рабочего: $t_3 = \frac{1}{p_3} = \frac{1}{1/60} = 60$ часов.

Ответ: первый рабочий может выполнить работу за 50 часов, второй — за 75 часов, а третий — за 60 часов.

1064. Существует ли такое двузначное число, которое при делении на сумму квадратов его цифр даёт в частном 2 и в остатке 6, а при делении на произведение цифр даёт в частном 4 и в остатке 6?

Обозначим искомое двузначное число как $N$. Пусть $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Тогда число $N$ можно записать в виде $N = 10a + b$.

По условию, $a$ — целое число от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — целое число от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Рассмотрим оба условия задачи и запишем их в виде математических уравнений.

Условие 1: число при делении на сумму квадратов его цифр даёт в частном 2 и в остатке 6.

Сумма квадратов цифр числа равна $a^2 + b^2$. Согласно определению деления с остатком, мы можем записать: $N = 2 \cdot (a^2 + b^2) + 6$ $10a + b = 2(a^2 + b^2) + 6$

Важным свойством деления с остатком является то, что остаток всегда меньше делителя. Следовательно: $6 < a^2 + b^2$

Условие 2: число при делении на произведение цифр даёт в частном 4 и в остатке 6.

Произведение цифр числа равно $a \cdot b$. Это условие можно записать так: $N = 4 \cdot (ab) + 6$ $10a + b = 4ab + 6$

Так же, как и в первом условии, остаток должен быть меньше делителя: $6 < ab$

Из этого неравенства следует, что ни одна из цифр не может быть нулем, так как иначе произведение было бы равно нулю, а остаток 6 не может быть меньше нуля. Значит, $a \in \{1, ..., 9\}$ и $b \in \{1, ..., 9\}$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений, так как левые части обоих уравнений равны $N$: $10a + b = 2(a^2 + b^2) + 6$ $10a + b = 4ab + 6$

Приравняем правые части этих уравнений: $2(a^2 + b^2) + 6 = 4ab + 6$

Вычтем 6 из обеих частей и разделим на 2: $2(a^2 + b^2) = 4ab$ $a^2 + b^2 = 2ab$

Перенесем все члены в одну сторону: $a^2 - 2ab + b^2 = 0$

Это выражение является формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = 0$

Из этого следует, что $a - b = 0$, то есть $a = b$. Это означает, что цифры искомого числа должны быть одинаковыми.

Подставим $b = a$ в одно из исходных уравнений, например во второе: $10a + a = 4a \cdot a + 6$ $11a = 4a^2 + 6$

Мы получили квадратное уравнение относительно $a$: $4a^2 - 11a + 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 121 - 96 = 25$

Найдем корни уравнения: $a_{1,2} = \frac{-(-11) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{11 \pm 5}{8}$

$a_1 = \frac{11 + 5}{8} = \frac{16}{8} = 2$
$a_2 = \frac{11 - 5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Поскольку $a$ — это цифра, она должна быть целым числом. Следовательно, единственный возможный вариант — это $a = 2$. Так как $a = b$, то и $b = 2$.

Таким образом, единственным числом-кандидатом является $N = 22$.

Проверим, удовлетворяет ли число 22 обоим условиям задачи, включая неравенства для остатков.

Проверка условия 1: деление 22 на сумму квадратов цифр ($2^2 + 2^2 = 8$). $22 \div 8 = 2$ с остатком $6$. Здесь частное равно 2, остаток равен 6. Проверяем неравенство: $6 < 8$. Условие выполнено.

Проверка условия 2: деление 22 на произведение цифр ($2 \cdot 2 = 4$). Условие гласит, что частное должно быть 4, а остаток 6. Однако, по определению, остаток от деления на 4 должен быть строго меньше 4. Остаток 6 не может быть получен при делении на 4. Это приводит к противоречию.

Поскольку единственное возможное число, вытекающее из уравнений, не удовлетворяет основному правилу деления с остатком во втором условии, можно сделать вывод, что такого двузначного числа не существует.

Ответ: Такого двузначного числа не существует.

1065. Последовательности ($y_n$) и ($x_n$) заданы формулами $y_n = n^2$ и $x_n = 2n - 1$. Если выписать в порядке возрастания все их общие члены, то получится последовательность ($c_n$). Напишите формулу $n$-го члена последовательности ($c_n$).

Даны две последовательности: $y_n = n^2$ и $x_n = 2n - 1$, где $n$ — натуральное число.

Первая последовательность $(y_n)$ — это последовательность квадратов натуральных чисел: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \dots$

Вторая последовательность $(x_n)$ — это последовательность нечетных натуральных чисел: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, \dots$

Общие члены этих двух последовательностей образуют новую последовательность $(c_n)$. Чтобы найти эти общие члены, нужно найти такие числа, которые являются одновременно и квадратом натурального числа, и нечетным числом.

Пусть некий член $c$ является общим для обеих последовательностей. Это значит, что существуют такие натуральные числа $k$ и $m$, что $c = y_k = k^2$ и $c = x_m = 2m - 1$. Приравняв выражения, получим: $k^2 = 2m - 1$.

Это равенство показывает, что общие члены являются полными квадратами, которые одновременно являются нечетными числами.

Квадрат целого числа $k^2$ является нечетным тогда и только тогда, когда само число $k$ является нечетным. Действительно, если $k$ — четное, то $k = 2p$ и $k^2 = (2p)^2 = 4p^2$ (четное). Если $k$ — нечетное, то $k = 2p-1$ и $k^2 = (2p-1)^2 = 4p^2 - 4p + 1 = 2(2p^2-2p)+1$ (нечетное).

Следовательно, общие члены — это квадраты нечетных натуральных чисел. Выпишем их в порядке возрастания, чтобы получить последовательность $(c_n)$:

$c_1 = 1^2 = 1$ (квадрат первого нечетного числа)

$c_2 = 3^2 = 9$ (квадрат второго нечетного числа)

$c_3 = 5^2 = 25$ (квадрат третьего нечетного числа)

$c_4 = 7^2 = 49$ (квадрат четвертого нечетного числа)

и так далее.

Мы видим, что $n$-й член последовательности $(c_n)$ является квадратом $n$-го нечетного числа. Формула для $n$-го нечетного натурального числа — это $2n-1$.

Таким образом, формула для $n$-го члена последовательности $(c_n)$ будет: $c_n = (2n - 1)^2$.

Ответ: $c_n = (2n-1)^2$

1066. При каких значениях $n$ члены последовательности, заданной формулой $x_n = (n + 4)(n - 5)$, удовлетворяют условию $-18 \le x_n \le 360$?

По условию задачи, члены последовательности, заданной формулой $x_n = (n + 4)(n - 5)$, должны удовлетворять условию $-18 \le x_n \le 360$. Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Подставим формулу для $x_n$ в неравенство:
$-18 \le (n + 4)(n - 5) \le 360$.

Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств:

Решим каждое неравенство по отдельности.

Решение первого неравенства:
$(n + 4)(n - 5) \ge -18$
Раскроем скобки: $n^2 - 5n + 4n - 20 \ge -18$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну сторону: $n^2 - n - 2 \ge 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $n^2 - n - 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Корни: $n_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1$, $n_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$.
Графиком функции $y = n^2 - n - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поэтому неравенство $n^2 - n - 2 \ge 0$ выполняется при $n \le -1$ или $n \ge 2$.

Решение второго неравенства:
$(n + 4)(n - 5) \le 360$
Раскроем скобки: $n^2 - n - 20 \le 360$
Перенесем все члены в одну сторону: $n^2 - n - 380 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $n^2 - n - 380 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-380) = 1 + 1520 = 1521 = 39^2$.
Корни: $n_3 = \frac{1 - 39}{2} = -19$, $n_4 = \frac{1 + 39}{2} = 20$.
Графиком функции $y = n^2 - n - 380$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $n^2 - n - 380 \le 0$ выполняется при $-19 \le n \le 20$.

Объединение решений и отбор натуральных чисел:
Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(n \le -1$ или $n \ge 2)$ и $-19 \le n \le 20$.
Общее решение для $n$: $n \in [-19, -1] \cup [2, 20]$.
Так как $n$ должно быть натуральным числом, выберем из полученного множества только целые положительные числа.
Промежуток $[-19, -1]$ не содержит натуральных чисел.
Промежуток $[2, 20]$ содержит натуральные числа от 2 до 20 включительно.

Ответ: $n \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$.

1067. Найдите сумму первых $n$ членов последовательности $(x_n)$, если

$x_n = \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$

Чтобы найти сумму первых $n$ членов последовательности $S_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$, где $x_n = \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$, представим общий член последовательности $x_k$ в виде суммы простейших дробей. Этот метод называется разложением на элементарные дроби.

Ищем представление $x_k$ в виде:

$\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{A}{2k - 1} + \frac{B}{2k + 1}$

Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$, приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{A(2k + 1) + B(2k - 1)}{(2k - 1)(2k + 1)}$

Так как знаменатели дробей равны, то должны быть равны и их числители:

$1 = A(2k + 1) + B(2k - 1)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при $k$:

$1 = 2Ak + A + 2Bk - B$

$1 = (2A + 2B)k + (A - B)$

Это равенство должно выполняться для любого значения $k$. Это возможно только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях $k$ в обеих частях равенства равны. В левой части коэффициент при $k$ равен 0, а свободный член равен 1. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 2A + 2B = 0 \\ A - B = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения $2(A + B) = 0$ следует, что $A = -B$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$-B - B = 1 \implies -2B = 1 \implies B = -\frac{1}{2}$

Тогда $A = -B = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Таким образом, мы разложили общий член последовательности на сумму дробей:

$x_k = \frac{1/2}{2k - 1} - \frac{1/2}{2k + 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

Теперь запишем сумму $S_n$ первых $n$ членов последовательности:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} x_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

Вынесем константу $\frac{1}{2}$ за знак суммы и распишем слагаемые:

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{2\cdot1 - 1} - \frac{1}{2\cdot1 + 1} \right) + \left( \frac{1}{2\cdot2 - 1} - \frac{1}{2\cdot2 + 1} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right) \right]$

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right) \right]$

Эта сумма является телескопической, так как все внутренние члены взаимно уничтожаются: второе слагаемое в каждой скобке сокращается с первым слагаемым в следующей скобке ($-\frac{1}{3}$ и $+\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{5}$ и $+\frac{1}{5}$ и т.д.). В результате остаются только первое слагаемое из первой пары и последнее слагаемое из последней пары:

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n + 1} \right)$

Упростим выражение в скобках:

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2n + 1 - 1}{2n + 1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n + 1}$

Сократив на 2, получаем окончательный результат:

$S_n = \frac{n}{2n + 1}$

Ответ: $S_n = \frac{n}{2n + 1}$

1068. В последовательности $ (x_n) $ каждый член с нечётным номером равен $ 2a $, а с чётным равен $ 2b $. Напишите формулу $ n $-го члена на этой последовательности.

По условию задачи, члены последовательности $(x_n)$ определяются в зависимости от чётности их номера $n$. Если номер $n$ нечётный, то член последовательности равен $2a$. Если номер $n$ чётный, то член последовательности равен $2b$. Нам необходимо вывести единую формулу для $n$-го члена $x_n$.

Для создания формулы, которая по-разному ведёт себя для чётных и нечётных $n$, удобно использовать выражение $(-1)^n$. Оно обладает ключевым свойством: $(-1)^n = 1$, если $n$ — чётное, и $(-1)^n = -1$, если $n$ — нечётное.

Будем искать формулу для $x_n$ в общем виде $x_n = C_1 + C_2 \cdot (-1)^n$, где $C_1$ и $C_2$ — это константы, которые нам предстоит найти, исходя из условий задачи.

Рассмотрим два случая:

1. Если $n$ — нечётное число, то по условию $x_n = 2a$. В нашей общей формуле $(-1)^n = -1$, поэтому мы получаем уравнение: $C_1 - C_2 = 2a$.

2. Если $n$ — чётное число, то по условию $x_n = 2b$. В нашей общей формуле $(-1)^n = 1$, поэтому мы получаем второе уравнение: $C_1 + C_2 = 2b$.

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений для нахождения $C_1$ и $C_2$: $$ \begin{cases} C_1 - C_2 = 2a \\ C_1 + C_2 = 2b \end{cases} $$

Решим эту систему. Сложим два уравнения: $(C_1 - C_2) + (C_1 + C_2) = 2a + 2b$, что приводит к $2C_1 = 2(a+b)$, и отсюда $C_1 = a+b$.

Теперь вычтем первое уравнение из второго: $(C_1 + C_2) - (C_1 - C_2) = 2b - 2a$, что приводит к $2C_2 = 2(b-a)$, и отсюда $C_2 = b-a$.

Мы нашли искомые коэффициенты: $C_1 = a+b$ и $C_2 = b-a$. Подставим их в нашу общую формулу $x_n = C_1 + C_2 \cdot (-1)^n$.

В результате получаем формулу для $n$-го члена последовательности: $x_n = (a+b) + (b-a)(-1)^n$.

Проверим, что эта формула удовлетворяет условиям задачи:
— Для нечётного $n$: $x_n = (a+b) + (b-a)(-1) = a+b - b + a = 2a$. Верно.
— Для чётного $n$: $x_n = (a+b) + (b-a)(1) = a+b + b - a = 2b$. Верно.

Таким образом, полученная формула является искомой.

Ответ: $x_n = (a+b) + (b-a)(-1)^n$.

1069. Известно, что $y = f(x)$ — линейная функция и $x_1, x_2, x_3, \dots$ — арифметическая прогрессия. Докажите, что последовательность $f(x_1), f(x_2), \dots$ является арифметической прогрессией.

Поскольку функция $y = f(x)$ является линейной, ее можно записать в виде $f(x) = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые действительные числа, причем $k \neq 0$.

Последовательность $x_1, x_2, x_3, \dots$ является арифметической прогрессией. Это означает, что для любого натурального номера $n$ существует такое постоянное число $d$ (разность прогрессии), что выполняется равенство: $x_{n+1} = x_n + d$, или $x_{n+1} - x_n = d$.

Чтобы доказать, что последовательность $f(x_1), f(x_2), \dots$ является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между любым ее последующим членом и предыдущим является постоянной величиной.

Рассмотрим разность $f(x_{n+1}) - f(x_n)$ для произвольного натурального $n$.

Подставим в это выражение формулу для линейной функции: $f(x_{n+1}) - f(x_n) = (k \cdot x_{n+1} + b) - (k \cdot x_n + b)$

Раскроем скобки и упростим выражение: $k \cdot x_{n+1} + b - k \cdot x_n - b = k \cdot x_{n+1} - k \cdot x_n$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки: $k(x_{n+1} - x_n)$

Так как мы знаем, что $x_{n+1} - x_n = d$, то можем подставить это значение в полученное выражение: $k(x_{n+1} - x_n) = k \cdot d$

Полученное значение $k \cdot d$ является произведением двух констант: $k$ (угловой коэффициент линейной функции) и $d$ (разность арифметической прогрессии $x_n$). Следовательно, их произведение $k \cdot d$ также является постоянной величиной, не зависящей от $n$.

Таким образом, разность $f(x_{n+1}) - f(x_n)$ постоянна и равна $k \cdot d$. Это по определению означает, что последовательность $f(x_1), f(x_2), \dots$ является арифметической прогрессией.

Ответ: Разность $f(x_{n+1}) - f(x_n)$ равна постоянной величине $k \cdot d$, где $k$ - коэффициент наклона линейной функции, а $d$ - разность исходной арифметической прогрессии. Следовательно, последовательность $f(x_1), f(x_2), \dots$ является арифметической прогрессией. Что и требовалось доказать.