Номер 1068, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1068. В последовательности $ (x_n) $ каждый член с нечётным номером равен $ 2a $, а с чётным равен $ 2b $. Напишите формулу $ n $-го члена на этой последовательности.

По условию задачи, члены последовательности $(x_n)$ определяются в зависимости от чётности их номера $n$. Если номер $n$ нечётный, то член последовательности равен $2a$. Если номер $n$ чётный, то член последовательности равен $2b$. Нам необходимо вывести единую формулу для $n$-го члена $x_n$.

Для создания формулы, которая по-разному ведёт себя для чётных и нечётных $n$, удобно использовать выражение $(-1)^n$. Оно обладает ключевым свойством: $(-1)^n = 1$, если $n$ — чётное, и $(-1)^n = -1$, если $n$ — нечётное.

Будем искать формулу для $x_n$ в общем виде $x_n = C_1 + C_2 \cdot (-1)^n$, где $C_1$ и $C_2$ — это константы, которые нам предстоит найти, исходя из условий задачи.

Рассмотрим два случая:

1. Если $n$ — нечётное число, то по условию $x_n = 2a$. В нашей общей формуле $(-1)^n = -1$, поэтому мы получаем уравнение: $C_1 - C_2 = 2a$.

2. Если $n$ — чётное число, то по условию $x_n = 2b$. В нашей общей формуле $(-1)^n = 1$, поэтому мы получаем второе уравнение: $C_1 + C_2 = 2b$.

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений для нахождения $C_1$ и $C_2$: $$ \begin{cases} C_1 - C_2 = 2a \\ C_1 + C_2 = 2b \end{cases} $$

Решим эту систему. Сложим два уравнения: $(C_1 - C_2) + (C_1 + C_2) = 2a + 2b$, что приводит к $2C_1 = 2(a+b)$, и отсюда $C_1 = a+b$.

Теперь вычтем первое уравнение из второго: $(C_1 + C_2) - (C_1 - C_2) = 2b - 2a$, что приводит к $2C_2 = 2(b-a)$, и отсюда $C_2 = b-a$.

Мы нашли искомые коэффициенты: $C_1 = a+b$ и $C_2 = b-a$. Подставим их в нашу общую формулу $x_n = C_1 + C_2 \cdot (-1)^n$.

В результате получаем формулу для $n$-го члена последовательности: $x_n = (a+b) + (b-a)(-1)^n$.

Проверим, что эта формула удовлетворяет условиям задачи:
— Для нечётного $n$: $x_n = (a+b) + (b-a)(-1) = a+b - b + a = 2a$. Верно.
— Для чётного $n$: $x_n = (a+b) + (b-a)(1) = a+b + b - a = 2b$. Верно.

Таким образом, полученная формула является искомой.

Ответ: $x_n = (a+b) + (b-a)(-1)^n$.