Номер 1065, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1065. Последовательности ($y_n$) и ($x_n$) заданы формулами $y_n = n^2$ и $x_n = 2n - 1$. Если выписать в порядке возрастания все их общие члены, то получится последовательность ($c_n$). Напишите формулу $n$-го члена последовательности ($c_n$).

Даны две последовательности: $y_n = n^2$ и $x_n = 2n - 1$, где $n$ — натуральное число.

Первая последовательность $(y_n)$ — это последовательность квадратов натуральных чисел: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \dots$

Вторая последовательность $(x_n)$ — это последовательность нечетных натуральных чисел: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, \dots$

Общие члены этих двух последовательностей образуют новую последовательность $(c_n)$. Чтобы найти эти общие члены, нужно найти такие числа, которые являются одновременно и квадратом натурального числа, и нечетным числом.

Пусть некий член $c$ является общим для обеих последовательностей. Это значит, что существуют такие натуральные числа $k$ и $m$, что $c = y_k = k^2$ и $c = x_m = 2m - 1$. Приравняв выражения, получим: $k^2 = 2m - 1$.

Это равенство показывает, что общие члены являются полными квадратами, которые одновременно являются нечетными числами.

Квадрат целого числа $k^2$ является нечетным тогда и только тогда, когда само число $k$ является нечетным. Действительно, если $k$ — четное, то $k = 2p$ и $k^2 = (2p)^2 = 4p^2$ (четное). Если $k$ — нечетное, то $k = 2p-1$ и $k^2 = (2p-1)^2 = 4p^2 - 4p + 1 = 2(2p^2-2p)+1$ (нечетное).

Следовательно, общие члены — это квадраты нечетных натуральных чисел. Выпишем их в порядке возрастания, чтобы получить последовательность $(c_n)$:

$c_1 = 1^2 = 1$ (квадрат первого нечетного числа)

$c_2 = 3^2 = 9$ (квадрат второго нечетного числа)

$c_3 = 5^2 = 25$ (квадрат третьего нечетного числа)

$c_4 = 7^2 = 49$ (квадрат четвертого нечетного числа)

и так далее.

Мы видим, что $n$-й член последовательности $(c_n)$ является квадратом $n$-го нечетного числа. Формула для $n$-го нечетного натурального числа — это $2n-1$.

Таким образом, формула для $n$-го члена последовательности $(c_n)$ будет: $c_n = (2n - 1)^2$.

Ответ: $c_n = (2n-1)^2$