Номер 1066, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1066. При каких значениях $n$ члены последовательности, заданной формулой $x_n = (n + 4)(n - 5)$, удовлетворяют условию $-18 \le x_n \le 360$?

По условию задачи, члены последовательности, заданной формулой $x_n = (n + 4)(n - 5)$, должны удовлетворять условию $-18 \le x_n \le 360$. Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Подставим формулу для $x_n$ в неравенство:
$-18 \le (n + 4)(n - 5) \le 360$.

Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств:

Решим каждое неравенство по отдельности.

Решение первого неравенства:
$(n + 4)(n - 5) \ge -18$
Раскроем скобки: $n^2 - 5n + 4n - 20 \ge -18$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну сторону: $n^2 - n - 2 \ge 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $n^2 - n - 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Корни: $n_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1$, $n_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$.
Графиком функции $y = n^2 - n - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поэтому неравенство $n^2 - n - 2 \ge 0$ выполняется при $n \le -1$ или $n \ge 2$.

Решение второго неравенства:
$(n + 4)(n - 5) \le 360$
Раскроем скобки: $n^2 - n - 20 \le 360$
Перенесем все члены в одну сторону: $n^2 - n - 380 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $n^2 - n - 380 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-380) = 1 + 1520 = 1521 = 39^2$.
Корни: $n_3 = \frac{1 - 39}{2} = -19$, $n_4 = \frac{1 + 39}{2} = 20$.
Графиком функции $y = n^2 - n - 380$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $n^2 - n - 380 \le 0$ выполняется при $-19 \le n \le 20$.

Объединение решений и отбор натуральных чисел:
Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(n \le -1$ или $n \ge 2)$ и $-19 \le n \le 20$.
Общее решение для $n$: $n \in [-19, -1] \cup [2, 20]$.
Так как $n$ должно быть натуральным числом, выберем из полученного множества только целые положительные числа.
Промежуток $[-19, -1]$ не содержит натуральных чисел.
Промежуток $[2, 20]$ содержит натуральные числа от 2 до 20 включительно.

Ответ: $n \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$.