Номер 1062, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1062. Докажите, что при любом $a$ выполняется неравенство

$$ \frac{1}{3} \le \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \le 3. $$

Для доказательства данного двойного неравенства необходимо доказать, что при любом $a$ одновременно выполняются два условия: 1) $ \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \ge \frac{1}{3} $ и 2) $ \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \le 3 $.

Прежде всего, рассмотрим знаменатель дроби $ a^2 + a + 1 $. Это квадратный трехчлен. Найдем его дискриминант: $ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 $. Так как дискриминант отрицателен ($ D < 0 $) и коэффициент при $ a^2 $ положителен ($1 > 0$), то выражение $ a^2 + a + 1 $ всегда принимает положительные значения при любом действительном $a$. Это позволяет нам умножать обе части неравенств на этот знаменатель, не меняя знака неравенства.

1. Докажем первое неравенство: $ \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \ge \frac{1}{3} $.

Умножим обе части на $ 3(a^2 + a + 1) $, которое всегда положительно:

$ 3(a^2 - a + 1) \ge a^2 + a + 1 $

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:

$ 3a^2 - 3a + 3 \ge a^2 + a + 1 $

$ 3a^2 - a^2 - 3a - a + 3 - 1 \ge 0 $

$ 2a^2 - 4a + 2 \ge 0 $

Разделим обе части на 2:

$ a^2 - 2a + 1 \ge 0 $

Левая часть представляет собой полный квадрат разности:

$ (a - 1)^2 \ge 0 $

Данное неравенство верно для любого действительного числа $a$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.

2. Докажем второе неравенство: $ \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \le 3 $.

Умножим обе части на $ a^2 + a + 1 $, которое всегда положительно:

$ a^2 - a + 1 \le 3(a^2 + a + 1) $

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в правую часть:

$ a^2 - a + 1 \le 3a^2 + 3a + 3 $

$ 0 \le 3a^2 - a^2 + 3a + a + 3 - 1 $

$ 0 \le 2a^2 + 4a + 2 $

Разделим обе части на 2:

$ 0 \le a^2 + 2a + 1 $

Правая часть представляет собой полный квадрат суммы:

$ 0 \le (a + 1)^2 $

Это неравенство также верно для любого действительного числа $a$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.

Поскольку оба неравенства, составляющие исходное двойное неравенство, выполняются для любого значения $a$, то и само исходное неравенство справедливо при любом $a$.

Ответ: Неравенство $ \frac{1}{3} \le \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \le 3 $ доказано.