Номер 1055, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1055. Решите уравнение $(x + 3)^4 + (x + 5)^4 = 4$.

Данное уравнение $(x+3)^4 + (x+5)^4 = 4$ является симметричным относительно точки $x = -4$, так как выражения $(x+3)$ и $(x+5)$ можно представить как $(x+4)-1$ и $(x+4)+1$. Для упрощения решения введем замену переменной.

Пусть $y = x + 4$. Тогда $x+3 = y-1$ и $x+5 = y+1$. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(y-1)^4 + (y+1)^4 = 4$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой бинома Ньютона. Напомним, что $(a \pm b)^4 = a^4 \pm 4a^3b + 6a^2b^2 \pm 4ab^3 + b^4$.

$(y-1)^4 = y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1$

$(y+1)^4 = y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1$

Теперь сложим левую часть уравнения:

$(y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1) + (y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1) = 4$

Члены с нечетными степенями $y$ взаимно уничтожаются:

$2y^4 + 12y^2 + 2 = 4$

Перенесем 4 в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$2y^4 + 12y^2 - 2 = 0$

Разделим все уравнение на 2, чтобы упростить его:

$y^4 + 6y^2 - 1 = 0$

Получилось биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену: пусть $z = y^2$. Поскольку $y$ - действительное число, $y^2$ не может быть отрицательным, следовательно $z \ge 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $z$:

$z^2 + 6z - 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта или формулы корней:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40$

$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -3 \pm \sqrt{10}$

Мы получили два возможных значения для $z$:

$z_1 = -3 + \sqrt{10}$

$z_2 = -3 - \sqrt{10}$

Теперь нужно проверить условие $z \ge 0$.

Значение $\sqrt{10}$ находится между $\sqrt{9}=3$ и $\sqrt{16}=4$. Следовательно, $\sqrt{10} > 3$.

Тогда $z_1 = -3 + \sqrt{10} > 0$. Этот корень удовлетворяет условию $z \ge 0$.

Значение $z_2 = -3 - \sqrt{10}$ очевидно отрицательно, так как является суммой двух отрицательных чисел. Этот корень не подходит.

Итак, у нас есть единственное подходящее значение для $z$:

$z = y^2 = -3 + \sqrt{10}$

Отсюда находим значения для $y$:

$y = \pm \sqrt{-3 + \sqrt{10}}$

Наконец, вернемся к исходной переменной $x$. Мы использовали замену $y = x+4$, из которой следует, что $x = y-4$.

Подставляем найденные значения $y$:

$x_1 = -4 + \sqrt{-3 + \sqrt{10}}$

$x_2 = -4 - \sqrt{-3 + \sqrt{10}}$

Эти два решения можно записать в компактной форме.

Ответ: $-4 \pm \sqrt{\sqrt{10}-3}$.