Номер 1054, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1054. Найдите все решения системы

$$\begin{cases} x^3 + x^3 y^3 + y^3 = 12, \\ x + xy + y = 0. \end{cases}$$

Данная система является симметрической. Для ее решения введем новые переменные, представляющие собой элементарные симметрические многочлены:

Пусть $s = x+y$ и $p = xy$.

Перепишем систему уравнений в новых переменных.

Второе уравнение системы $x + xy + y = 0$ можно переписать как $(x+y) + xy = 0$, что в новых переменных дает:

$s + p = 0$, откуда $p = -s$.

Теперь преобразуем первое уравнение системы $x^3 + x^3y^3 + y^3 = 12$.

Выразим $x^3 + y^3$ через $s$ и $p$:

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 2xy - xy) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = s(s^2 - 3p)$.

Слагаемое $x^3y^3$ равно $(xy)^3 = p^3$.

Таким образом, первое уравнение принимает вид:

$s(s^2 - 3p) + p^3 = 12$.

Получили систему уравнений для $s$ и $p$:

$ \begin{cases} s(s^2-3p) + p^3 = 12, \\ s+p=0. \end{cases} $

Подставим $p = -s$ из второго уравнения в первое:

$s(s^2 - 3(-s)) + (-s)^3 = 12$

$s(s^2 + 3s) - s^3 = 12$

$s^3 + 3s^2 - s^3 = 12$

$3s^2 = 12$

$s^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для $s$: $s=2$ и $s=-2$. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $s = 2$.

Если $s=2$, то $p = -s = -2$.

Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$. Мы имеем систему:

$ \begin{cases} x+y = 2, \\ xy = -2. \end{cases} $

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - st + p = 0$:

$t^2 - 2t - 2 = 0$.

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12$.

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Таким образом, мы получаем две пары решений: $(1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3})$ и $(1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3})$.

Случай 2: $s = -2$.

Если $s=-2$, то $p = -s = 2$.

Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$. Мы имеем систему:

$ \begin{cases} x+y = -2, \\ xy = 2. \end{cases} $

Составляем квадратное уравнение $t^2 - st + p = 0$:

$t^2 - (-2)t + 2 = 0$

$t^2 + 2t + 2 = 0$.

Найдем корни этого уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$.

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Однако, оно имеет комплексные корни:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i$.

Таким образом, мы получаем еще две пары комплексных решений: $(-1+i, -1-i)$ и $(-1-i, -1+i)$.

Соберем все найденные решения.

Ответ: $(1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3})$, $(1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3})$, $(-1+i, -1-i)$, $(-1-i, -1+i)$.