Номер 1051, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1051. Решите систему уравнений

$\begin{cases} (x+y)(8-x) = 10, \\ (x+y)(y+5) = 20. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x + y)(8 - x) = 10, \\ (x + y)(y + 5) = 20. \end{cases} $

Заметим, что если $x+y=0$, то левая часть первого уравнения обращается в ноль, и мы получаем $0=10$, что неверно. Следовательно, $x+y \neq 0$.

Введем замену переменной: пусть $a = x + y$. Система уравнений примет вид:

$ \begin{cases} a(8 - x) = 10, \\ a(y + 5) = 20. \end{cases} $

Поскольку $a \neq 0$, мы можем выразить $x$ и $y$ через $a$ из каждого уравнения:

$8 - x = \frac{10}{a} \implies x = 8 - \frac{10}{a}$

$y + 5 = \frac{20}{a} \implies y = \frac{20}{a} - 5$

Теперь подставим полученные выражения для $x$ и $y$ обратно в уравнение замены $a = x + y$:

$a = \left(8 - \frac{10}{a}\right) + \left(\frac{20}{a} - 5\right)$

Упростим это уравнение:

$a = 3 + \frac{10}{a}$

Домножим обе части уравнения на $a$ (что возможно, так как $a \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:

$a^2 = 3a + 10$

Получаем квадратное уравнение относительно $a$:

$a^2 - 3a - 10 = 0$

Решим это уравнение. Можно по теореме Виета найти корни: их сумма равна 3, а произведение равно -10. Это числа 5 и -2. Либо решим через дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

$a_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5$

$a_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = -2$

Теперь для каждого найденного значения $a$ найдем соответствующие значения $x$ и $y$.

1. При $a = 5$:

$x = 8 - \frac{10}{5} = 8 - 2 = 6$

$y = \frac{20}{5} - 5 = 4 - 5 = -1$

Таким образом, первая пара решений $(6, -1)$.

2. При $a = -2$:

$x = 8 - \frac{10}{-2} = 8 + 5 = 13$

$y = \frac{20}{-2} - 5 = -10 - 5 = -15$

Таким образом, вторая пара решений $(13, -15)$.

Ответ: $(6, -1)$, $(13, -15)$.