Номер 1044, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1044. Докажите, что многочлен $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1$ не принимает отрицательных значений.

Для того чтобы доказать, что многочлен $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1$ не принимает отрицательных значений, необходимо показать, что его значение больше или равно нулю для любого действительного значения $x$.

Обозначим данный многочлен как $P(x)$ и преобразуем его, пытаясь представить в виде суммы квадратов. Для этого сгруппируем слагаемые, представив $-4x^4$ как $-2x^4 - 2x^4$: $P(x) = x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1 = (x^8 - 2x^4 + 1) + (x^6 - 2x^4 + x^2)$.

Рассмотрим каждую группу слагаемых по отдельности.

Первая группа, $x^8 - 2x^4 + 1$, является полным квадратом разности для выражения $x^4$: $x^8 - 2x^4 + 1 = (x^4)^2 - 2 \cdot x^4 \cdot 1 + 1^2 = (x^4 - 1)^2$.

Во второй группе, $x^6 - 2x^4 + x^2$, вынесем общий множитель $x^2$ за скобки: $x^6 - 2x^4 + x^2 = x^2(x^4 - 2x^2 + 1)$. Выражение в скобках, $x^4 - 2x^2 + 1$, также является полным квадратом разности, но уже для выражения $x^2$: $x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = (x^2 - 1)^2$. Таким образом, вторая группа слагаемых равна $x^2(x^2 - 1)^2$.

Теперь подставим преобразованные группы обратно в выражение для многочлена $P(x)$: $P(x) = (x^4 - 1)^2 + x^2(x^2 - 1)^2$.

Проанализируем полученное выражение. Оно представляет собой сумму двух слагаемых:
1. Первое слагаемое, $(x^4 - 1)^2$, является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x^4 - 1)^2 \ge 0$.
2. Второе слагаемое, $x^2(x^2 - 1)^2$, является произведением двух неотрицательных выражений ($x^2 \ge 0$ и $(x^2 - 1)^2 \ge 0$), а значит, оно также всегда неотрицательно.

Поскольку многочлен представлен в виде суммы двух неотрицательных слагаемых, его значение не может быть отрицательным ни при каком действительном значении $x$: $P(x) = \underbrace{(x^4 - 1)^2}_{\ge 0} + \underbrace{x^2(x^2 - 1)^2}_{\ge 0} \ge 0$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: многочлен $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1$ можно представить в виде суммы неотрицательных слагаемых $(x^4 - 1)^2 + x^2(x^2 - 1)^2$, следовательно, он не принимает отрицательных значений.