Номер 1042, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1042. Найдите координаты общих точек оси $x$ и графика функции $y = x^2 - 4x + |2x - 8|$.

Общие точки графика функции и оси $x$ (оси абсцисс) — это точки, в которых значение функции равно нулю, то есть $y=0$. Чтобы найти координаты этих точек, нужно решить уравнение:

$x^2 - 4x + |2x - 8| = 0$

Решение этого уравнения зависит от знака выражения под знаком модуля. Рассмотрим два случая.

1. Случай, когда $2x - 8 \ge 0$

Это неравенство выполняется при $2x \ge 8$, то есть при $x \ge 4$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком плюс: $|2x - 8| = 2x - 8$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^2 - 4x + (2x - 8) = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-2) + 6}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-2) - 6}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

Теперь нужно проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 4$.

• Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 4$. Следовательно, это решение.
• Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge 4$. Следовательно, это посторонний корень для данного случая.

Из первого случая мы получили одно решение: $x = 4$.

2. Случай, когда $2x - 8 < 0$

Это неравенство выполняется при $2x < 8$, то есть при $x < 4$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком минус: $|2x - 8| = -(2x - 8) = -2x + 8$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^2 - 4x + (-2x + 8) = 0$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни:

$x_3 = 2$

$x_4 = 4$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x < 4$.

• Корень $x_3 = 2$ удовлетворяет условию $2 < 4$. Следовательно, это решение.
• Корень $x_4 = 4$ не удовлетворяет условию $4 < 4$. Следовательно, это посторонний корень для данного случая.

Из второго случая мы получили еще одно решение: $x = 2$.

Итак, мы нашли две абсциссы точек пересечения графика функции с осью $x$: $x=2$ и $x=4$. Ордината этих точек равна нулю. Следовательно, координаты общих точек:

$(2, 0)$ и $(4, 0)$.

Ответ: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.