Номер 1036, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1036. Найдите корни многочлена

$2x^5 + x^4 - 10x^3 - 5x^2 + 8x + 4.$

Для нахождения корней многочлена $P(x) = 2x^5 + x^4 - 10x^3 - 5x^2 + 8x + 4$ необходимо решить уравнение $P(x) = 0$.

$2x^5 + x^4 - 10x^3 - 5x^2 + 8x + 4 = 0$

Воспользуемся методом группировки слагаемых:

$(2x^5 + x^4) - (10x^3 + 5x^2) + (8x + 4) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^4(2x + 1) - 5x^2(2x + 1) + 4(2x + 1) = 0$

Теперь вынесем общий для всех слагаемых множитель $(2x + 1)$ за скобки:

$(2x + 1)(x^4 - 5x^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Решение для первого множителя

Приравняем первый множитель к нулю:

$2x + 1 = 0$

$2x = -1$

$x_1 = -\frac{1}{2}$

Решение для второго множителя

Приравняем второй множитель к нулю:

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Введем замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$. Уравнение примет вид квадратного относительно $y$:

$y^2 - 5y + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Легко подобрать корни:

$y_1 = 1$

$y_2 = 4$

Оба полученных значения для $y$ неотрицательны, следовательно, они удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для нахождения корней $x$.

1. При $y = 1$ имеем $x^2 = 1$. Отсюда получаем два корня: $x_2 = 1$ и $x_3 = -1$.

2. При $y = 4$ имеем $x^2 = 4$. Отсюда получаем еще два корня: $x_4 = 2$ и $x_5 = -2$.

Таким образом, мы нашли все пять действительных корней исходного многочлена.

Ответ: $-2, -1, -\frac{1}{2}, 1, 2$.