Страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1036. Найдите корни многочлена

$2x^5 + x^4 - 10x^3 - 5x^2 + 8x + 4.$

Для нахождения корней многочлена $P(x) = 2x^5 + x^4 - 10x^3 - 5x^2 + 8x + 4$ необходимо решить уравнение $P(x) = 0$.

$2x^5 + x^4 - 10x^3 - 5x^2 + 8x + 4 = 0$

Воспользуемся методом группировки слагаемых:

$(2x^5 + x^4) - (10x^3 + 5x^2) + (8x + 4) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^4(2x + 1) - 5x^2(2x + 1) + 4(2x + 1) = 0$

Теперь вынесем общий для всех слагаемых множитель $(2x + 1)$ за скобки:

$(2x + 1)(x^4 - 5x^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Решение для первого множителя

Приравняем первый множитель к нулю:

$2x + 1 = 0$

$2x = -1$

$x_1 = -\frac{1}{2}$

Решение для второго множителя

Приравняем второй множитель к нулю:

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Введем замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$. Уравнение примет вид квадратного относительно $y$:

$y^2 - 5y + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Легко подобрать корни:

$y_1 = 1$

$y_2 = 4$

Оба полученных значения для $y$ неотрицательны, следовательно, они удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для нахождения корней $x$.

1. При $y = 1$ имеем $x^2 = 1$. Отсюда получаем два корня: $x_2 = 1$ и $x_3 = -1$.

2. При $y = 4$ имеем $x^2 = 4$. Отсюда получаем еще два корня: $x_4 = 2$ и $x_5 = -2$.

Таким образом, мы нашли все пять действительных корней исходного многочлена.

Ответ: $-2, -1, -\frac{1}{2}, 1, 2$.

1037. Если в многочлен $ax^3 + bx^2 + cx + d$ вместо $a, b, c$ и $d$ подставлять числа $-7, 4, -3$ и $6$ в каком угодно порядке, будут получаться многочлены с одной переменной, например $-7x^3 + 4x^2 - 3x + 6$, $4x^3 - 7x^2 + 6x - 3$ и т. д. Докажите, что все такие многочлены имеют общий корень.

Пусть дан многочлен $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. По условию задачи, коэффициенты $a, b, c, d$ являются числами из набора $\{-7, 4, -3, 6\}$, взятыми в произвольном порядке. Это означает, что набор $\{a, b, c, d\}$ является перестановкой набора чисел $\{-7, 4, -3, 6\}$.

Требуется доказать, что все такие многочлены имеют общий корень. Общий корень — это такое число $x_0$, при подстановке которого в любой из возможных многочленов мы получим ноль. То есть $P(x_0)=0$ независимо от конкретной перестановки коэффициентов.

Проверим значение многочлена при $x=1$. Подставим $x=1$ в общее выражение для многочлена:

$P(1) = a \cdot (1)^3 + b \cdot (1)^2 + c \cdot (1) + d = a + b + c + d$

Как видим, значение многочлена в точке $x=1$ равно сумме его коэффициентов. Поскольку коэффициенты $a, b, c, d$ являются перестановкой чисел $-7, 4, -3, 6$, их сумма всегда будет постоянной и равной сумме чисел в этом наборе.

Вычислим эту сумму:

$-7 + 4 + (-3) + 6 = -3 - 3 + 6 = -6 + 6 = 0$

Таким образом, для любой комбинации коэффициентов из заданного набора, сумма $a+b+c+d$ всегда равна нулю. Это означает, что $P(1) = 0$ для любого из таких многочленов.

Следовательно, $x=1$ является корнем каждого многочлена, который можно составить по условиям задачи. Это и есть искомый общий корень. Что и требовалось доказать.

Ответ: Все многочлены вида $ax^3 + bx^2 + cx + d$, где коэффициенты $a, b, c, d$ являются перестановкой чисел $-7, 4, -3, 6$, имеют общий корень $x=1$. Это следует из того, что значение любого такого многочлена при $x=1$ равно сумме его коэффициентов $a+b+c+d$, а эта сумма для указанного набора чисел всегда равна нулю: $-7 + 4 - 3 + 6 = 0$.

1038. Докажите, что многочлен $x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 3x + 9$ не имеет отрицательных корней.

Чтобы доказать, что многочлен $P(x) = x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 3x + 9$ не имеет отрицательных корней, достаточно показать, что для любого $x < 0$ значение многочлена $P(x)$ строго положительно.

Преобразуем данный многочлен, сгруппировав слагаемые для выделения полного квадрата:

$P(x) = (x^4 - 6x^2 + 9) - 4x^3 - 3x$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(x^2 - 3)^2$. Получаем:

$P(x) = (x^2 - 3)^2 - 4x^3 - 3x$

Теперь вынесем общий множитель из оставшихся слагаемых:

$P(x) = (x^2 - 3)^2 - (4x^3 + 3x) = (x^2 - 3)^2 - x(4x^2 + 3)$

Рассмотрим полученное выражение при условии, что $x < 0$. Первое слагаемое, $(x^2 - 3)^2$, является квадратом действительного числа и, следовательно, всегда неотрицательно: $(x^2 - 3)^2 \geq 0$.

Второе слагаемое — это $-x(4x^2 + 3)$. Проанализируем его знак. Так как по условию $x < 0$, то множитель $-x$ строго положителен. Множитель $(4x^2 + 3)$ также строго положителен для любого действительного $x$, поскольку $x^2 \geq 0$ и, следовательно, $4x^2 + 3 \geq 3$. Произведение двух положительных множителей ($-x$ и $4x^2+3$) даёт положительный результат. Значит, слагаемое $-x(4x^2 + 3)$ строго больше нуля.

Итак, многочлен $P(x)$ для любого $x < 0$ представляет собой сумму неотрицательного слагаемого $(x^2 - 3)^2$ и строго положительного слагаемого $-x(4x^2 + 3)$. Сумма неотрицательного и строго положительного чисел всегда строго положительна.

$P(x) = \underbrace{(x^2 - 3)^2}_{\ge 0} + \underbrace{(-x(4x^2 + 3))}_{> 0} > 0$

Поскольку при любом отрицательном значении $x$ значение многочлена строго больше нуля, он не может равняться нулю. Следовательно, у многочлена нет отрицательных корней.

Ответ: Многочлен был преобразован к виду $(x^2 - 3)^2 - x(4x^2 + 3)$. При $x < 0$ первое слагаемое $(x^2 - 3)^2 \geq 0$, а второе слагаемое $-x(4x^2 + 3) > 0$. Сумма неотрицательного и положительного слагаемых всегда положительна, поэтому $P(x) > 0$ для всех $x < 0$, а значит, отрицательных корней нет.

1039. При каком значении $a$ сумма квадратов корней квадратного трёхчлена $x^2 - (a - 2)x - a - 1$ принимает наименьшее значение?

Рассмотрим данный квадратный трёхчлен: $x^2 - (a - 2)x - a - 1$. Чтобы трёхчлен имел корни, его уравнение $x^2 - (a - 2)x - a - 1 = 0$ должно иметь решение. Для этого найдём дискриминант $D$ и убедимся, что он неотрицателен.

$D = b^2 - 4ac = (-(a - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a - 1) = (a - 2)^2 + 4(a + 1)$
$D = (a^2 - 4a + 4) + (4a + 4) = a^2 - 4a + 4 + 4a + 4 = a^2 + 8$.

Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого действительного значения $a$, то $D = a^2 + 8$ всегда будет больше нуля. Это означает, что квадратный трёхчлен имеет два различных действительных корня при любом значении параметра $a$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного трёхчлена. Согласно теореме Виета для приведённого квадратного уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-(a-2)) = a - 2$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -a - 1$.

Нам необходимо найти наименьшее значение суммы квадратов корней, то есть величины $S = x_1^2 + x_2^2$. Выразим эту сумму через сумму и произведение корней:
$S = x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим выражения для $x_1 + x_2$ и $x_1 \cdot x_2$, чтобы получить зависимость $S$ от параметра $a$:
$S(a) = (a - 2)^2 - 2(-a - 1) = (a^2 - 4a + 4) + 2a + 2 = a^2 - 2a + 6$.

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = a^2 - 2a + 6$. Её график — это парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $a^2$ положителен ($1 > 0$). Следовательно, своё наименьшее значение эта функция принимает в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_0 = -B/(2A)$. В нашем случае переменная — это $a$, а коэффициенты: $A=1$, $B=-2$. Найдём значение $a$, при котором $S(a)$ минимально:
$a_0 = - \frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$.

Таким образом, сумма квадратов корней данного квадратного трёхчлена принимает наименьшее значение при $a=1$.

Ответ: $1$.

1040. Докажите, что при любых значениях $a$, $b$ и $c$ график функции $y = (x - a)(x - b) - c^2$ имеет хотя бы одну общую точку с осью $x$.

Чтобы доказать, что график функции $y = (x - a)(x - b) - c^2$ имеет хотя бы одну общую точку с осью $x$, нужно показать, что уравнение $y = 0$ имеет хотя бы один действительный корень при любых значениях параметров $a$, $b$ и $c$.

Приравняем функцию к нулю:

$(x - a)(x - b) - c^2 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Раскроем скобки, чтобы привести его к стандартному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$x^2 - bx - ax + ab - c^2 = 0$

$x^2 - (a + b)x + (ab - c^2) = 0$

Квадратное уравнение имеет хотя бы один действительный корень, если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Вычислим дискриминант для этого уравнения. Коэффициенты равны: $A = 1$, $B = -(a + b)$, $C = ab - c^2$.

$D = B^2 - 4AC = (-(a + b))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (ab - c^2)$

Упростим выражение для дискриминанта:

$D = (a + b)^2 - 4(ab - c^2) = (a^2 + 2ab + b^2) - 4ab + 4c^2$

$D = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab + 4c^2 = a^2 - 2ab + b^2 + 4c^2$

Заметим, что первые три слагаемых образуют полный квадрат разности:

$D = (a - b)^2 + 4c^2$

Теперь проанализируем знак полученного выражения. Выражение $(a - b)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(a - b)^2 \ge 0$. Аналогично, выражение $c^2$ также неотрицательно, а значит и $4c^2 \ge 0$.

Дискриминант $D$ представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых. Сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна. Следовательно, $D = (a - b)^2 + 4c^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, $b$ и $c$.

Так как дискриминант уравнения $D \ge 0$ при любых $a, b, c$, то уравнение всегда имеет по крайней мере один действительный корень. Это означает, что график функции $y = (x - a)(x - b) - c^2$ всегда имеет хотя бы одну общую точку с осью $x$.

Ответ: Утверждение доказано. Дискриминант $D = (a - b)^2 + 4c^2$ соответствующего квадратного уравнения неотрицателен при любых действительных $a, b, c$, следовательно, уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень, а график функции — хотя бы одну общую точку с осью $x$.

1041. Постройте график функции:

a) $y = 2x^2 - 3|x| - 2$;

б) $y = \left|\frac{1}{2}x^2 - x\right| - 4.

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 3|x| - 2$.

Так как в уравнение входит $|x|$, а $x^2 = |x|^2$, данная функция является четной, то есть $y(-x) = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Поэтому достаточно построить часть графика для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить ее относительно оси OY.

При $x \ge 0$, модуль раскрывается как $|x| = x$, и функция принимает вид:
$y = 2x^2 - 3x - 2$.
Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля).

Найдем координаты вершины этой параболы:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0.75$.
$y_в = 2(\frac{3}{4})^2 - 3(\frac{3}{4}) - 2 = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} - \frac{16}{8} = -\frac{25}{8} = -3.125$.
Координаты вершины: $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат для $x \ge 0$:
1. С осью OY (при $x=0$):
$y(0) = 2(0)^2 - 3(0) - 2 = -2$. Точка пересечения: $(0, -2)$.
2. С осью OX (при $y=0$):
$2x^2 - 3x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 5}{4}$.
$x_1 = \frac{3+5}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2}$.
Так как мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нас интересует только корень $x=2$. Точка пересечения: $(2, 0)$.

Итак, для $x \ge 0$ мы строим часть параболы, проходящую через точки $(0, -2)$, $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$ (вершина) и $(2, 0)$.

Для построения полного графика отражаем полученную кривую симметрично относительно оси OY. При этом точка $(2, 0)$ перейдет в $(-2, 0)$, а вершина $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$ - в точку $(-\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$. Точка $(0, -2)$ останется на месте.

Ответ: График функции представляет собой объединение двух частей парабол. Для $x \ge 0$ это график параболы $y = 2x^2 - 3x - 2$, а для $x < 0$ — график параболы $y = 2x^2 + 3x - 2$. График симметричен относительно оси OY, имеет вид буквы "W", пересекает ось OX в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$, ось OY в точке $(0, -2)$ и имеет две вершины в точках $(\frac{3}{4}, -3.125)$ и $(-\frac{3}{4}, -3.125)$.

Рассмотрим функцию $y = |\frac{1}{2}x^2 - |x| - 4|$.

Построение графика этой функции можно разбить на два этапа:
1. Построить график вспомогательной функции $g(x) = \frac{1}{2}x^2 - |x| - 4$.
2. Части графика $g(x)$, которые лежат ниже оси OX (где $g(x) < 0$), отразить симметрично относительно оси OX.

Этап 1: Построение графика $g(x) = \frac{1}{2}x^2 - |x| - 4$.
Эта функция, как и в предыдущем пункте, является четной. Строим ее для $x \ge 0$ и отражаем относительно оси OY.
При $x \ge 0$ имеем $|x|=x$, и функция принимает вид $g(x) = \frac{1}{2}x^2 - x - 4$.
Это парабола с ветвями вверх ($a = \frac{1}{2} > 0$).

Найдем ее вершину:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1$.
$y_в = g(1) = \frac{1}{2}(1)^2 - 1 - 4 = \frac{1}{2} - 5 = -4.5$.
Вершина параболы: $(1, -4.5)$.

Найдем точки пересечения с осями для $x \ge 0$:
1. С осью OY ($x=0$): $g(0) = -4$. Точка $(0, -4)$.
2. С осью OX ($g(x)=0$):
$\frac{1}{2}x^2 - x - 4 = 0$. Умножим на 2:
$x^2 - 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -2$.
Так как мы рассматриваем $x \ge 0$, нам подходит корень $x=4$. Точка $(4, 0)$.

Строим график $g(x)$ для $x \ge 0$ по точкам $(0, -4)$, $(1, -4.5)$ (вершина) и $(4, 0)$. Затем отражаем эту кривую относительно оси OY. Получаем вторую половину графика с вершиной в точке $(-1, -4.5)$ и пересечением с OX в точке $(-4, 0)$.
График $g(x)$ — это W-образная кривая, которая находится ниже оси OX на интервале $(-4, 4)$.

Этап 2: Построение графика $y = |g(x)|$.
Теперь мы применяем внешнее абсолютное значение. Это означает, что все, что находится над осью OX или на ней, остается на месте, а все, что под ней, — симметрично отражается вверх.
- Части графика $g(x)$ на интервалах $(-\infty, -4]$ и $[4, \infty)$ остаются без изменений. - Часть графика $g(x)$ на интервале $(-4, 4)$ отражается относительно оси OX.

В результате отражения:
- Точки пересечения с осью OX $(-4, 0)$ и $(4, 0)$ остаются на месте. Они станут точками излома графика. - Точка локального максимума $g(x)$ в $(0, -4)$ станет точкой локального минимума для $y(x)$ в $(0, 4)$. - Точки минимумов $g(x)$ в $(1, -4.5)$ и $(-1, -4.5)$ станут точками локальных максимумов для $y(x)$ в $(1, 4.5)$ и $(-1, 4.5)$.

Ответ: График функции получается из графика W-образной кривой $g(x) = \frac{1}{2}x^2 - |x| - 4$ путем отражения ее отрицательной части (на интервале $x \in (-4, 4)$) относительно оси OX. Итоговый график расположен полностью в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), имеет точки излома на оси OX в $x = -4$ и $x = 4$, локальный минимум в точке $(0, 4)$ и два локальных максимума в точках $(-1, 4.5)$ и $(1, 4.5)$.

1042. Найдите координаты общих точек оси $x$ и графика функции $y = x^2 - 4x + |2x - 8|$.

Общие точки графика функции и оси $x$ (оси абсцисс) — это точки, в которых значение функции равно нулю, то есть $y=0$. Чтобы найти координаты этих точек, нужно решить уравнение:

$x^2 - 4x + |2x - 8| = 0$

Решение этого уравнения зависит от знака выражения под знаком модуля. Рассмотрим два случая.

1. Случай, когда $2x - 8 \ge 0$

Это неравенство выполняется при $2x \ge 8$, то есть при $x \ge 4$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком плюс: $|2x - 8| = 2x - 8$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^2 - 4x + (2x - 8) = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-2) + 6}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-2) - 6}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

Теперь нужно проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 4$.

• Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 4$. Следовательно, это решение.
• Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge 4$. Следовательно, это посторонний корень для данного случая.

Из первого случая мы получили одно решение: $x = 4$.

2. Случай, когда $2x - 8 < 0$

Это неравенство выполняется при $2x < 8$, то есть при $x < 4$.

В этом случае модуль раскрывается со знаком минус: $|2x - 8| = -(2x - 8) = -2x + 8$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^2 - 4x + (-2x + 8) = 0$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни:

$x_3 = 2$

$x_4 = 4$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x < 4$.

• Корень $x_3 = 2$ удовлетворяет условию $2 < 4$. Следовательно, это решение.
• Корень $x_4 = 4$ не удовлетворяет условию $4 < 4$. Следовательно, это посторонний корень для данного случая.

Из второго случая мы получили еще одно решение: $x = 2$.

Итак, мы нашли две абсциссы точек пересечения графика функции с осью $x$: $x=2$ и $x=4$. Ордината этих точек равна нулю. Следовательно, координаты общих точек:

$(2, 0)$ и $(4, 0)$.

Ответ: $(2, 0)$ и $(4, 0)$.

1043. При каком значении $a$ графики функций $y = x^2 - 7x + a$ и $y = -3x^2 + 5x - 6$ имеют единственную общую точку? Найдите её координаты.

Для того чтобы графики функций имели единственную общую точку, система уравнений, составленная из этих функций, должна иметь единственное решение. Это означает, что уравнение, полученное приравниванием правых частей функций, должно иметь один корень.

Приравняем правые части данных функций:

$x^2 - 7x + a = -3x^2 + 5x - 6$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$x^2 - 7x + a + 3x^2 - 5x + 6 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(1 + 3)x^2 + (-7 - 5)x + (a + 6) = 0$

$4x^2 - 12x + (a + 6) = 0$

Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю. Формула дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$.

Для нашего уравнения коэффициенты равны:

$A = 4$, $B = -12$, $C = a + 6$

Вычислим дискриминант и приравняем его к нулю:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (a + 6) = 0$

$144 - 16(a + 6) = 0$

Решим это уравнение относительно $a$:

$144 = 16(a + 6)$

$a + 6 = \frac{144}{16}$

$a + 6 = 9$

$a = 9 - 6$

$a = 3$

Теперь, когда мы нашли значение $a$, нужно найти координаты общей точки. Для этого найдем корень $x$ нашего квадратного уравнения при $a = 3$.

Подставим $a=3$ в уравнение $4x^2 - 12x + (a + 6) = 0$:

$4x^2 - 12x + (3 + 6) = 0$

$4x^2 - 12x + 9 = 0$

Это уравнение является полным квадратом: $(2x - 3)^2 = 0$.

$2x - 3 = 0$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2} = 1.5$

Мы нашли абсциссу общей точки. Чтобы найти ординату $y$, подставим значение $x = 1.5$ в любую из исходных функций. Возьмем первую функцию $y = x^2 - 7x + a$ с найденным значением $a=3$.

$y = (1.5)^2 - 7(1.5) + 3$

$y = 2.25 - 10.5 + 3$

$y = 5.25 - 10.5$

$y = -5.25$

Таким образом, единственная общая точка имеет координаты $(1.5; -5.25)$.

Ответ: при $a = 3$ графики функций имеют единственную общую точку с координатами $(1.5; -5.25)$.

1044. Докажите, что многочлен $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1$ не принимает отрицательных значений.

Для того чтобы доказать, что многочлен $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1$ не принимает отрицательных значений, необходимо показать, что его значение больше или равно нулю для любого действительного значения $x$.

Обозначим данный многочлен как $P(x)$ и преобразуем его, пытаясь представить в виде суммы квадратов. Для этого сгруппируем слагаемые, представив $-4x^4$ как $-2x^4 - 2x^4$: $P(x) = x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1 = (x^8 - 2x^4 + 1) + (x^6 - 2x^4 + x^2)$.

Рассмотрим каждую группу слагаемых по отдельности.

Первая группа, $x^8 - 2x^4 + 1$, является полным квадратом разности для выражения $x^4$: $x^8 - 2x^4 + 1 = (x^4)^2 - 2 \cdot x^4 \cdot 1 + 1^2 = (x^4 - 1)^2$.

Во второй группе, $x^6 - 2x^4 + x^2$, вынесем общий множитель $x^2$ за скобки: $x^6 - 2x^4 + x^2 = x^2(x^4 - 2x^2 + 1)$. Выражение в скобках, $x^4 - 2x^2 + 1$, также является полным квадратом разности, но уже для выражения $x^2$: $x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = (x^2 - 1)^2$. Таким образом, вторая группа слагаемых равна $x^2(x^2 - 1)^2$.

Теперь подставим преобразованные группы обратно в выражение для многочлена $P(x)$: $P(x) = (x^4 - 1)^2 + x^2(x^2 - 1)^2$.

Проанализируем полученное выражение. Оно представляет собой сумму двух слагаемых:
1. Первое слагаемое, $(x^4 - 1)^2$, является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x^4 - 1)^2 \ge 0$.
2. Второе слагаемое, $x^2(x^2 - 1)^2$, является произведением двух неотрицательных выражений ($x^2 \ge 0$ и $(x^2 - 1)^2 \ge 0$), а значит, оно также всегда неотрицательно.

Поскольку многочлен представлен в виде суммы двух неотрицательных слагаемых, его значение не может быть отрицательным ни при каком действительном значении $x$: $P(x) = \underbrace{(x^4 - 1)^2}_{\ge 0} + \underbrace{x^2(x^2 - 1)^2}_{\ge 0} \ge 0$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: многочлен $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1$ можно представить в виде суммы неотрицательных слагаемых $(x^4 - 1)^2 + x^2(x^2 - 1)^2$, следовательно, он не принимает отрицательных значений.

1045. При каких значениях m квадратный трёхчлен

$mx^2 + (m - 1)x + m - 1$

принимает лишь отрицательные значения?

Для того чтобы квадратный трёхчлен $f(x) = mx^2 + (m-1)x + m-1$ принимал лишь отрицательные значения при любых значениях $x$, необходимо и достаточно, чтобы его график (парабола) целиком лежал ниже оси абсцисс.

Сначала рассмотрим случай, когда данное выражение не является квадратным, то есть когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $m=0$.При $m=0$ выражение принимает вид:$f(x) = (0-1)x + (0-1) = -x - 1$.Это линейная функция, график которой — прямая. Эта функция принимает как положительные (например, при $x=-2$, $f(-2)=1$), так и отрицательные значения. Следовательно, случай $m=0$ не удовлетворяет условию задачи.

Теперь рассмотрим случай, когда $m \neq 0$. В этом случае $f(x)$ является квадратичной функцией. Чтобы её график (парабола) полностью находился под осью $x$, должны выполняться два условия одновременно:

1. Ветви параболы должны быть направлены вниз. Это означает, что старший коэффициент (коэффициент при $x^2$) должен быть отрицательным.
$m < 0$

2. Парабола не должна пересекать ось $x$, то есть квадратное уравнение $mx^2 + (m-1)x + m-1 = 0$ не должно иметь действительных корней. Это означает, что его дискриминант $D$ должен быть отрицательным.
$D < 0$

Вычислим дискриминант. Коэффициенты трёхчлена: $a=m$, $b=m-1$, $c=m-1$.
$D = b^2 - 4ac = (m-1)^2 - 4 \cdot m \cdot (m-1)$

Теперь решим неравенство $D < 0$:
$(m-1)^2 - 4m(m-1) < 0$
Вынесем общий множитель $(m-1)$ за скобки:
$(m-1) \cdot ((m-1) - 4m) < 0$
$(m-1)(-3m-1) < 0$
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$(m-1)(3m+1) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни выражения $(m-1)(3m+1)$:
$m-1=0 \implies m_1=1$
$3m+1=0 \implies m_2=-1/3$
Парабола $y=(m-1)(3m+1)$ ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.Решение неравенства: $m \in (-\infty, -1/3) \cup (1, \infty)$.

Итак, мы имеем систему из двух условий:$$ \begin{cases} m < 0 \\ m \in (-\infty, -1/3) \cup (1, \infty) \end{cases} $$Найдём пересечение решений этих неравенств. Из первого условия следует, что $m$ должно быть отрицательным. Из второго условия подходят интервалы $(-\infty, -1/3)$ и $(1, \infty)$. Пересекая $m<0$ с этим решением, получаем, что подходит только интервал $(-\infty, -1/3)$.

Ответ: $m \in (-\infty; -1/3)$.