Страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1070. В арифметической прогрессии $a_1, a_2, a_3, a_4$, состоящей из целых чисел, наибольший член равен сумме квадратов остальных членов. Найдите члены этой прогрессии.

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_1, a_2, a_3, a_4$, состоящая из целых чисел. Обозначим разность прогрессии через $d$. Тогда члены прогрессии можно выразить через первый член $a_1$ и разность $d$:

$a_2 = a_1 + d$

$a_3 = a_1 + 2d$

$a_4 = a_1 + 3d$

Поскольку все члены прогрессии являются целыми числами, $a_1$ и $d$ также должны быть целыми числами.

Согласно условию задачи, наибольший член равен сумме квадратов остальных членов. Наибольший член зависит от знака разности $d$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $d = 0$

Если разность прогрессии равна нулю, то все члены прогрессии равны между собой: $a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = a$.

В этом случае любой член является наибольшим. Условие задачи принимает вид:

$a = a^2 + a^2 + a^2$

$a = 3a^2$

$3a^2 - a = 0$

$a(3a - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $a = 0$ и $a = 1/3$. Поскольку члены прогрессии должны быть целыми числами, подходит только $a = 0$.

Таким образом, одна из возможных прогрессий — это $0, 0, 0, 0$.

Проверка: наибольший член равен 0. Сумма квадратов остальных членов: $0^2 + 0^2 + 0^2 = 0$. Условие выполняется.

Ответ: $0, 0, 0, 0$.

Случай 2: $d > 0$

Если разность прогрессии положительна, то прогрессия является возрастающей. Наибольшим членом будет $a_4$.

Условие задачи записывается как:

$a_4 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$

Подставим выражения для членов прогрессии через $a_1$ и $d$:

$a_1 + 3d = a_1^2 + (a_1 + d)^2 + (a_1 + 2d)^2$

$a_1 + 3d = a_1^2 + (a_1^2 + 2a_1d + d^2) + (a_1^2 + 4a_1d + 4d^2)$

$a_1 + 3d = 3a_1^2 + 6a_1d + 5d^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $a_1$:

$3a_1^2 + (6d - 1)a_1 + (5d^2 - 3d) = 0$

Поскольку $a_1$ — целое число, дискриминант $D$ этого квадратного уравнения должен быть полным квадратом неотрицательного целого числа.

$D = (6d - 1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (5d^2 - 3d)$

$D = (36d^2 - 12d + 1) - 12(5d^2 - 3d)$

$D = 36d^2 - 12d + 1 - 60d^2 + 36d$

$D = -24d^2 + 24d + 1$

Мы ищем целые положительные значения $d$, при которых $D$ является полным квадратом. Пусть $D=k^2$ для некоторого целого $k \ge 0$.

При $d=1$: $D = -24(1)^2 + 24(1) + 1 = 1 = 1^2$. Это полный квадрат.

При $d=2$: $D = -24(2)^2 + 24(2) + 1 = -96 + 48 + 1 = -47$. Не является полным квадратом (и даже не является неотрицательным).

Парабола $y(d) = -24d^2 + 24d + 1$ имеет ветви вниз, и ее вершина находится в точке $d = -24/(2 \cdot (-24)) = 0.5$. При $d \ge 1$ функция убывает. Так как уже при $d=2$ значение отрицательно, то для всех $d \ge 2$ оно будет отрицательным. Следовательно, единственное возможное целое положительное значение для $d$ — это $d=1$.

Подставим $d=1$ и $D=1$ в уравнение для нахождения $a_1$:

$a_1 = \frac{-(6d - 1) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{-(6 \cdot 1 - 1) \pm \sqrt{1}}{6} = \frac{-5 \pm 1}{6}$

Получаем два возможных значения для $a_1$: $a_{1,1} = \frac{-5 - 1}{6} = -1$ (целое число) и $a_{1,2} = \frac{-5 + 1}{6} = -\frac{2}{3}$ (не является целым числом).

Таким образом, единственное решение в этом случае: $a_1 = -1$ и $d=1$.

Найдем члены прогрессии: $a_1 = -1$, $a_2 = -1 + 1 = 0$, $a_3 = -1 + 2 = 1$, $a_4 = -1 + 3 = 2$.

Проверка: наибольший член $a_4 = 2$. Сумма квадратов остальных: $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 0 + 1 = 2$. Условие $2=2$ выполняется.

Ответ: $-1, 0, 1, 2$.

Случай 3: $d < 0$

Если разность прогрессии отрицательна, то прогрессия является убывающей. Наибольшим членом будет $a_1$.

Условие задачи записывается как:

$a_1 = a_2^2 + a_3^2 + a_4^2$

Подставим выражения для членов прогрессии:

$a_1 = (a_1 + d)^2 + (a_1 + 2d)^2 + (a_1 + 3d)^2$

$a_1 = (a_1^2 + 2a_1d + d^2) + (a_1^2 + 4a_1d + 4d^2) + (a_1^2 + 6a_1d + 9d^2)$

$a_1 = 3a_1^2 + 12a_1d + 14d^2$

Получаем квадратное уравнение относительно $a_1$:

$3a_1^2 + (12d - 1)a_1 + 14d^2 = 0$

Его дискриминант $D$ должен быть полным квадратом:

$D = (12d - 1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (14d^2) = 144d^2 - 24d + 1 - 168d^2 = -24d^2 - 24d + 1$

Так как $d$ — целое отрицательное число, пусть $d = -c$, где $c$ — целое положительное число ($c > 0$).

$D = -24(-c)^2 - 24(-c) + 1 = -24c^2 + 24c + 1$

Это то же самое выражение для дискриминанта, что и в случае 2. Как мы уже установили, оно является полным квадратом только при $c=1$, что дает $D=1$.

Значит, единственное возможное значение $d$ — это $d=-1$.

Подставим $d=-1$ и $D=1$ в формулу для нахождения $a_1$:

$a_1 = \frac{-(12d - 1) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{-(12(-1) - 1) \pm \sqrt{1}}{6} = \frac{-(-13) \pm 1}{6} = \frac{13 \pm 1}{6}$

Получаем два возможных значения для $a_1$: $a_{1,1} = \frac{13 + 1}{6} = \frac{7}{3}$ (не является целым числом) и $a_{1,2} = \frac{13 - 1}{6} = 2$ (целое число).

Таким образом, единственное решение в этом случае: $a_1 = 2$ и $d=-1$.

Найдем члены прогрессии: $a_1 = 2$, $a_2 = 2 - 1 = 1$, $a_3 = 2 - 2 = 0$, $a_4 = 2 - 3 = -1$.

Проверка: наибольший член $a_1 = 2$. Сумма квадратов остальных: $a_2^2 + a_3^2 + a_4^2 = 1^2 + 0^2 + (-1)^2 = 1 + 0 + 1 = 2$. Условие $2=2$ выполняется.

Ответ: $2, 1, 0, -1$.

1071. Пусть $a_1, a_2, \dots$ — арифметическая прогрессия с положительными членами. Докажите, что сумма первых $n$ членов последовательности $(x_n)$, где $x_n = \frac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}}$, равна $\frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}$.

Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с положительными членами и разностью $d$.Требуется доказать, что сумма $S_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$, где $x_k = \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}$, равна $\frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}$.

Для начала преобразуем общий член последовательности $x_k$. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}$:$x_k = \frac{1}{\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k}} \cdot \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{(\sqrt{a_{k+1}})^2 - (\sqrt{a_k})^2} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a_{k+1} - a_k}$.

Поскольку $(a_n)$ является арифметической прогрессией, разность между любыми двумя последовательными членами постоянна и равна разности прогрессии $d$. Таким образом, $a_{k+1} - a_k = d$.

Рассмотрим два возможных случая для разности прогрессии $d$.

Случай 1: $d \neq 0$

Если разность прогрессии не равна нулю, то выражение для $x_k$ можно записать как:$x_k = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d}$.

Теперь найдем сумму $S_n$ первых $n$ членов последовательности $(x_n)$:$S_n = \sum_{k=1}^{n} x_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d} = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})$.

Сумма $\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})$ является телескопической, так как все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются при раскрытии скобок:$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}) = (\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}) + \dots + (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n-1}}) + (\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_n})$.После сокращения остаются только первый и последний члены: $\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_1}$.

Таким образом, сумма $S_n$ равна:$S_n = \frac{\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_1}}{d}$.

Чтобы привести это выражение к требуемому виду, воспользуемся формулой для $(n+1)$-го члена арифметической прогрессии: $a_{n+1} = a_1 + nd$. Из этой формулы следует, что $a_{n+1} - a_1 = nd$.Теперь преобразуем полученное выражение для $S_n$, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1}$:$S_n = \frac{(\sqrt{a_{n+1}} - \sqrt{a_1})(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1})}{d(\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_1})} = \frac{a_{n+1} - a_1}{d(\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}})}$.

Подставим $a_{n+1} - a_1 = nd$:$S_n = \frac{nd}{d(\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}})}$.

Сократив на $d$ (что возможно, так как $d \neq 0$), получаем искомое равенство:$S_n = \frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}}$.

Случай 2: $d = 0$

Если разность прогрессии равна нулю, то все члены прогрессии равны между собой: $a_k = a_1$ для любого $k$. Так как по условию члены положительные, то $a_1 > 0$.В этом случае каждый член последовательности $(x_n)$ равен:$x_k = \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_1}} = \frac{1}{2\sqrt{a_1}}$.

Сумма первых $n$ членов будет равна:$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2\sqrt{a_1}} = n \cdot \frac{1}{2\sqrt{a_1}} = \frac{n}{2\sqrt{a_1}}$.

Проверим правую часть доказываемого тождества. Так как $d=0$, то $a_{n+1} = a_1$.$\frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_{n+1}}} = \frac{n}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_1}} = \frac{n}{2\sqrt{a_1}}$.

Левая и правая части равенства совпали, следовательно, формула верна и для случая $d=0$.

Таким образом, равенство доказано для любой арифметической прогрессии с положительными членами.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1072. Докажите, что если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то его высоты также образуют геометрическую прогрессию.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию, они образуют геометрическую прогрессию. Это означает, что существует такое число $q$ (знаменатель прогрессии, $q \ne 0$), что $b = a \cdot q$ и $c = b \cdot q = a \cdot q^2$.

Обозначим высоты треугольника, опущенные на стороны $a$, $b$ и $c$, как $h_a$, $h_b$ и $h_c$ соответственно.

Площадь треугольника $S$ можно вычислить, используя любую из сторон и соответствующую ей высоту: $S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$.

Из этого равенства мы можем выразить высоты через площадь $S$ и длины сторон:

$h_a = \frac{2S}{a}$
$h_b = \frac{2S}{b}$
$h_c = \frac{2S}{c}$

Чтобы доказать, что высоты $h_a$, $h_b$, $h_c$ образуют геометрическую прогрессию, нам нужно показать, что отношение последующего члена к предыдущему является постоянной величиной, то есть $\frac{h_b}{h_a} = \frac{h_c}{h_b}$.

Рассмотрим отношение $\frac{h_b}{h_a}$:

$\frac{h_b}{h_a} = \frac{2S/b}{2S/a} = \frac{2S}{b} \cdot \frac{a}{2S} = \frac{a}{b}$

Теперь рассмотрим отношение $\frac{h_c}{h_b}$:

$\frac{h_c}{h_b} = \frac{2S/c}{2S/b} = \frac{2S}{c} \cdot \frac{b}{2S} = \frac{b}{c}$

Поскольку по условию задачи стороны $a$, $b$, $c$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q$, мы имеем:

$\frac{b}{a} = q$ и $\frac{c}{b} = q$

Следовательно, для обратных отношений, которые мы получили для высот, верно:

$\frac{a}{b} = \frac{1}{q}$ и $\frac{b}{c} = \frac{1}{q}$

Таким образом, мы получаем:

$\frac{h_b}{h_a} = \frac{a}{b} = \frac{1}{q}$

$\frac{h_c}{h_b} = \frac{b}{c} = \frac{1}{q}$

Поскольку $\frac{h_b}{h_a} = \frac{h_c}{h_b} = \frac{1}{q}$, это означает, что последовательность высот $h_a, h_b, h_c$ является геометрической прогрессией со знаменателем $\frac{1}{q}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q$, то его высоты, проведенные к этим сторонам, также образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $\frac{1}{q}$.

1073. Три различных целых числа составляют геометрическую прогрессию. Их сумма равна -3. Найдите эти числа.

Пусть три различных целых числа, составляющие геометрическую прогрессию, это $b_1, b_2, b_3$.

Члены геометрической прогрессии можно выразить через первый член $b_1$ и знаменатель прогрессии $q$ следующим образом:$b_1$$b_2 = b_1 \cdot q$$b_3 = b_1 \cdot q^2$

По условию задачи, сумма этих чисел равна $-3$:$b_1 + b_2 + b_3 = -3$$b_1 + b_1q + b_1q^2 = -3$Вынесем $b_1$ за скобки:$b_1(1 + q + q^2) = -3$

Так как числа $b_1, b_1q, b_1q^2$ являются целыми и различными, то $b_1$ должен быть целым числом, а знаменатель $q$ — рациональным числом. Также из условия, что числа различны, следует, что $q \ne 1$ (иначе все числа равны), $q \ne -1$ (иначе $b_1 = b_3$) и $q \ne 0$ (иначе $b_2=b_3=0$).

Рассмотрим сначала случай, когда $q$ является целым числом. В этом случае выражение $(1 + q + q^2)$ также является целым числом. Из уравнения $b_1(1 + q + q^2) = -3$ следует, что $b_1$ должен быть делителем числа $-3$. Возможные целые значения для $b_1$: $1, -1, 3, -3$.

Проверим каждый из этих случаев:

1. Если $b_1 = 1$, то $1(1 + q + q^2) = -3 \implies q^2 + q + 4 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15 < 0$. Действительных корней нет.

2. Если $b_1 = -1$, то $-1(1 + q + q^2) = -3 \implies 1 + q + q^2 = 3 \implies q^2 + q - 2 = 0$. По теореме Виета, корни этого уравнения $q_1 = 1$ и $q_2 = -2$. Значение $q=1$ не подходит, так как числа должны быть различны. При $q=-2$ получаем решение.

3. Если $b_1 = 3$, то $3(1 + q + q^2) = -3 \implies 1 + q + q^2 = -1 \implies q^2 + q + 2 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0$. Действительных корней нет.

4. Если $b_1 = -3$, то $-3(1 + q + q^2) = -3 \implies 1 + q + q^2 = 1 \implies q^2 + q = 0 \implies q(q+1)=0$. Корни $q=0$ и $q=-1$. Оба значения не подходят по условию различности чисел.

Таким образом, единственная возможность при целом $q$ — это $b_1 = -1$ и $q = -2$.Найдем эти три числа:$b_1 = -1$$b_2 = b_1 \cdot q = (-1) \cdot (-2) = 2$$b_3 = b_1 \cdot q^2 = (-1) \cdot (-2)^2 = -4$

Получили числа: $-1, 2, -4$. Они являются различными целыми числами. Проверим их сумму: $-1 + 2 + (-4) = 1 - 4 = -3$. Условие выполняется.

Можно также рассмотреть случай, когда $q$ — дробное рациональное число. Например, если взять найденные числа в обратном порядке: $-4, 2, -1$. Они также составляют геометрическую прогрессию, но с первым членом $b'_1 = -4$ и знаменателем $q' = 2/(-4) = -1/2$. В этом случае числа те же самые.

Ответ: -4, -1, 2.

1074. Три целых числа составляют арифметическую прогрессию, первый член которой 1. Если ко второму члену прибавить 3, а третий возвести в квадрат, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

Пусть три искомых целых числа образуют арифметическую прогрессию $a_1, a_2, a_3$ с разностью $d$. Поскольку числа целые, их разность $d$ также является целым числом.

По условию, первый член прогрессии $a_1 = 1$. Тогда члены прогрессии можно выразить через $d$:

$a_1 = 1$

$a_2 = 1 + d$

$a_3 = 1 + 2d$

Далее производятся следующие преобразования: ко второму члену прибавляют 3, а третий возводят в квадрат. Первый член остается неизменным. В результате получается новая последовательность $b_1, b_2, b_3$, которая является геометрической прогрессией.

$b_1 = a_1 = 1$

$b_2 = a_2 + 3 = (1 + d) + 3 = 4 + d$

$b_3 = (a_3)^2 = (1 + 2d)^2$

Для любой геометрической прогрессии справедливо свойство: квадрат среднего члена равен произведению двух соседних. Для нашей последовательности это означает: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим выражения для $b_1, b_2, b_3$ в это равенство:

$(4 + d)^2 = 1 \cdot (1 + 2d)^2$

$(4 + d)^2 = (1 + 2d)^2$

Это уравнение равносильно совокупности двух линейных уравнений:

$4 + d = 1 + 2d$ или $4 + d = -(1 + 2d)$.

Решим первое уравнение:

$4 - 1 = 2d - d$

$d_1 = 3$

Решим второе уравнение:

$4 + d = -1 - 2d$

$3d = -5$

$d_2 = -\frac{5}{3}$

По условию задачи, исходные числа — целые. Это возможно, только если разность прогрессии $d$ — целое число. Поэтому значение $d = -\frac{5}{3}$ не подходит, так как привело бы к нецелым членам прогрессии (например, $a_2 = 1 - 5/3 = -2/3$).

Следовательно, единственное подходящее значение разности $d=3$.

Теперь найдем искомые числа, подставив $d=3$ в выражения для членов арифметической прогрессии:

$a_1 = 1$

$a_2 = 1 + 3 = 4$

$a_3 = 1 + 2 \cdot 3 = 1 + 6 = 7$

Проверка: исходные числа 1, 4, 7 образуют арифметическую прогрессию ($d=3$). Новые числа: 1, $4+3=7$, $7^2=49$. Последовательность 1, 7, 49 является геометрической прогрессией со знаменателем $q=7$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 1, 4, 7.

1075. Докажите, что при любом натуральном значении $n > 1$ верно неравенство

$\frac{1}{2} < \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}} < 1$

Для доказательства данного двойного неравенства необходимо доказать два неравенства по отдельности:

1) $\sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}} < 1$

2) $\frac{1}{2} < \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}}$

Обозначим выражение под корнем как $A_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}$.

Рассмотрим выражение $A_n$. Его можно представить в виде произведения дробей:

$A_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{2n-1}{2n}$

Это произведение состоит из $n$ сомножителей вида $\frac{2k-1}{2k}$, где $k$ принимает натуральные значения от 1 до $n$.

Для любого натурального $k \ge 1$, числитель $2k-1$ строго меньше знаменателя $2k$. Следовательно, каждая дробь $\frac{2k-1}{2k}$ является положительным числом, строго меньшим 1:

$0 < \frac{2k-1}{2k} < 1$

Произведение положительных чисел, каждое из которых меньше 1, также меньше 1. Поэтому $0 < A_n < 1$.

Корень $n$-ой степени из числа, которое больше 0 и меньше 1, также больше 0 и меньше 1. Таким образом, $\sqrt[n]{A_n} < 1$.

Правая часть неравенства доказана.

Докажем, что $\frac{1}{2} < \sqrt[n]{A_n}$.

Поскольку обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в степень $n$, не меняя знака неравенства:

$(\frac{1}{2})^n < A_n$

$\frac{1}{2^n} < \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}$

Представим знаменатель в правой части: $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n = (2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 3) \cdot \ldots \cdot (2 \cdot n) = 2^n \cdot n!$.

Подставим это выражение в неравенство:

$\frac{1}{2^n} < \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2^n \cdot n!}$

Умножим обе части на $2^n$ (так как $2^n > 0$):

$1 < \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{n!}$

Чтобы доказать это неравенство, представим правую часть в виде произведения:

$\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \ldots \cdot \frac{2n-1}{n}$

Это произведение состоит из $n$ сомножителей вида $\frac{2k-1}{k}$ для $k=1, 2, \ldots, n$.

Первый сомножитель (при $k=1$) равен $\frac{2(1)-1}{1} = 1$.

Для любого $k \ge 2$ (что возможно, так как по условию $n > 1$), имеем $2k-1 > k$, поскольку это эквивалентно $k > 1$.

Следовательно, для всех $k \in \{2, 3, \ldots, n\}$, сомножитель $\frac{2k-1}{k} > 1$.

Таким образом, правая часть является произведением единицы и $n-1$ чисел, каждое из которых строго больше единицы. Такое произведение всегда строго больше 1.

Неравенство $1 < \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{n!}$ доказано, а значит, верна и левая часть исходного неравенства.

Так как мы доказали и левую, и правую части исходного двойного неравенства, то утверждение задачи полностью доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

1076. Упростите выражение:

а) $\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7}$;

б) $\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}$.

а) Обозначим данное выражение через $x$:

$x = \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7}$

Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу сокращенного умножения $(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$.

Пусть $a = \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7}$ и $b = \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7}$. Тогда $x = a-b$, и уравнение для $x$ примет вид:

$x^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$

Найдем значения выражений $a^3 - b^3$ и $ab$.

$a^3 = (\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7})^3 = 5\sqrt{2} + 7$

$b^3 = (\sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7})^3 = 5\sqrt{2} - 7$

$a^3 - b^3 = (5\sqrt{2} + 7) - (5\sqrt{2} - 7) = 5\sqrt{2} + 7 - 5\sqrt{2} + 7 = 14$

$ab = \sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} \cdot \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7} = \sqrt[3]{(5\sqrt{2} + 7)(5\sqrt{2} - 7)}$

Применив формулу разности квадратов $(c+d)(c-d)=c^2-d^2$ под корнем, получаем:

$ab = \sqrt[3]{(5\sqrt{2})^2 - 7^2} = \sqrt[3]{25 \cdot 2 - 49} = \sqrt[3]{50 - 49} = \sqrt[3]{1} = 1$

Теперь подставим найденные значения в уравнение для $x^3$, помня, что $a-b = x$:

$x^3 = 14 - 3 \cdot 1 \cdot x$

$x^3 + 3x - 14 = 0$

Мы получили кубическое уравнение. Попробуем найти его целый корень среди делителей свободного члена (-14): $\pm1, \pm2, \pm7, \pm14$.

Подставим $x=2$: $2^3 + 3 \cdot 2 - 14 = 8 + 6 - 14 = 0$.

Значит, $x=2$ является корнем уравнения. Чтобы убедиться, что других действительных корней нет, разделим многочлен $x^3 + 3x - 14$ на $(x-2)$:

$(x^3 + 3x - 14) : (x-2) = x^2 + 2x + 7$

Уравнение принимает вид: $(x-2)(x^2 + 2x + 7) = 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + 2x + 7$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$.

Поскольку $D < 0$, уравнение $x^2 + 2x + 7 = 0$ не имеет действительных корней. Следовательно, единственным действительным решением является $x=2$.

Ответ: 2.

б) Обозначим данное выражение через $y$:

$y = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}$

Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу сокращенного умножения $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.

Пусть $a = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}}$ и $b = \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}$. Тогда $y = a+b$, и уравнение для $y$ примет вид:

$y^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$

Найдем значения выражений $a^3 + b^3$ и $ab$.

$a^3 = (\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}})^3 = 2 + \sqrt{5}$

$b^3 = (\sqrt[3]{2 - \sqrt{5}})^3 = 2 - \sqrt{5}$

$a^3 + b^3 = (2 + \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5}) = 4$

$ab = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} = \sqrt[3]{(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})}$

Применив формулу разности квадратов $(c+d)(c-d)=c^2-d^2$ под корнем, получаем:

$ab = \sqrt[3]{2^2 - (\sqrt{5})^2} = \sqrt[3]{4 - 5} = \sqrt[3]{-1} = -1$

Теперь подставим найденные значения в уравнение для $y^3$, помня, что $a+b = y$:

$y^3 = 4 + 3 \cdot (-1) \cdot y$

$y^3 + 3y - 4 = 0$

Мы получили кубическое уравнение. Попробуем найти его целый корень среди делителей свободного члена (-4): $\pm1, \pm2, \pm4$.

Подставим $y=1$: $1^3 + 3 \cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$.

Значит, $y=1$ является корнем уравнения. Чтобы убедиться, что других действительных корней нет, разделим многочлен $y^3 + 3y - 4$ на $(y-1)$:

$(y^3 + 3y - 4) : (y-1) = y^2 + y + 4$

Уравнение принимает вид: $(y-1)(y^2 + y + 4) = 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $y^2 + y + 4$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$.

Поскольку $D < 0$, уравнение $y^2 + y + 4 = 0$ не имеет действительных корней. Следовательно, единственным действительным решением является $y=1$.

Ответ: 1.

1077. Докажите, что если $x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx$, то $x=y=z$.

Для доказательства данного утверждения начнем с исходного равенства:

$x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить выражение, равное нулю:

$x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0$

Умножим обе части уравнения на 2. Этот шаг поможет нам выделить полные квадраты разностей.

$2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = 2 \cdot 0$

$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0$

Теперь сгруппируем слагаемые. Представим $2x^2$ как $x^2 + x^2$, $2y^2$ как $y^2 + y^2$, и $2z^2$ как $z^2 + z^2$, чтобы использовать формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2) = 0$

Применив формулу, получаем сумму квадратов:

$(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0$

Мы получили сумму трех квадратов. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (то есть $\ge 0$), их сумма может быть равна нулю только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю.

Следовательно, должны одновременно выполняться три условия:

$ \begin{cases} (x - y)^2 = 0 \\ (y - z)^2 = 0 \\ (z - x)^2 = 0 \end{cases} $

Извлекая квадратный корень из каждой части уравнений, получаем:

$ \begin{cases} x - y = 0 \\ y - z = 0 \\ z - x = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = y \\ y = z \\ z = x \end{cases} $

Из этих трех равенств следует, что все три переменные равны между собой.

Ответ: $x=y=z$.

1078. Решите уравнение с двумя переменными $x^2 + 2\sqrt{3}x + y - 4\sqrt{y} + 7 = 0.$

Исходное уравнение: $x^2 + 2\sqrt{3}x + y - 4\sqrt{y} + 7 = 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменных. Из-за наличия выражения $\sqrt{y}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $y \ge 0$. Для переменной $x$ ограничений нет.

Для решения данного уравнения применим метод выделения полных квадратов. Сгруппируем члены с переменной $x$ и члены с переменной $y$. Константу $7$ представим в виде суммы двух чисел: $7 = 3 + 4$.

Перепишем уравнение следующим образом:

$(x^2 + 2\sqrt{3}x + 3) + (y - 4\sqrt{y} + 4) = 0$

Теперь заметим, что выражения в скобках являются полными квадратами:

• Первое выражение $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3$ является полным квадратом суммы, так как $(\sqrt{3})^2 = 3$. Таким образом, $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = (x + \sqrt{3})^2$.
• Второе выражение $y - 4\sqrt{y} + 4$ можно представить как $(\sqrt{y})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{y} + 2^2$, что является полным квадратом разности. Таким образом, $y - 4\sqrt{y} + 4 = (\sqrt{y} - 2)^2$.

Подставив эти выражения обратно в уравнение, получим:

$(x + \sqrt{3})^2 + (\sqrt{y} - 2)^2 = 0$

Это уравнение представляет собой сумму двух квадратов, которая равна нулю. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (т.е. $\ge 0$), сумма двух квадратов может быть равна нулю только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю.

Это приводит нас к системе из двух уравнений:

$\begin{cases} (x + \sqrt{3})^2 = 0 \\ (\sqrt{y} - 2)^2 = 0 \end{cases}$

Решим каждое уравнение по отдельности:

1) $(x + \sqrt{3})^2 = 0 \implies x + \sqrt{3} = 0 \implies x = -\sqrt{3}$

2) $(\sqrt{y} - 2)^2 = 0 \implies \sqrt{y} - 2 = 0 \implies \sqrt{y} = 2$

Чтобы найти $y$, возведем обе части последнего равенства в квадрат:

$y = 2^2 = 4$

Полученное значение $y = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 0$).

Таким образом, единственным решением уравнения является пара чисел $(-\sqrt{3}; 4)$.

Ответ: $(-\sqrt{3}; 4)$.

1079. Решите систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2z^2 = 0, \\ x + y + z = 8, \\ xy = -z^2. \end{cases} $

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 - 2z^2 = 0 & (1) \\ x + y + z = 8 & (2) \\ xy = -z^2 & (3) \end{cases}$

Из третьего уравнения выразим $2z^2 = -2xy$. Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 + y^2 - (-2xy) = 0$

$x^2 + y^2 + 2xy = 0$

Левая часть полученного уравнения является полным квадратом суммы:

$(x+y)^2 = 0$

Из этого следует, что $x+y=0$.

Теперь подставим полученное равенство $x+y=0$ во второе уравнение системы $x+y+z=8$:

$0 + z = 8$

$z = 8$

Зная значение $z$, можем найти произведение $xy$ из третьего уравнения:

$xy = -z^2 = -8^2 = -64$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений для переменных $x$ и $y$:

$\begin{cases} x+y=0 \\ xy=-64 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y=-x$. Подставим это во второе уравнение:

$x(-x) = -64$

$-x^2 = -64$

$x^2 = 64$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня:

1. Если $x_1 = 8$, то $y_1 = -x_1 = -8$.

2. Если $x_2 = -8$, то $y_2 = -x_2 = -(-8) = 8$.

Таким образом, мы получили два решения системы в виде троек $(x, y, z)$:

Первое решение: $(8, -8, 8)$.

Второе решение: $(-8, 8, 8)$.

Проверим оба решения, подставив их в исходную систему.

Для $(8, -8, 8)$:

$8^2 + (-8)^2 - 2 \cdot 8^2 = 64 + 64 - 128 = 0$

$8 + (-8) + 8 = 8$

$8 \cdot (-8) = -64$ (совпадает с $-z^2 = -8^2 = -64$)

Для $(-8, 8, 8)$:

$(-8)^2 + 8^2 - 2 \cdot 8^2 = 64 + 64 - 128 = 0$

$-8 + 8 + 8 = 8$

$(-8) \cdot 8 = -64$ (совпадает с $-z^2 = -8^2 = -64$)

Оба решения верны.

Ответ: $(8, -8, 8)$, $(-8, 8, 8)$.

1080. Решите в натуральных числах систему уравнений

$\begin{cases} x + y + z = 14, \\ x + yz = 19. \end{cases}$

Дана система уравнений, которую необходимо решить в натуральных числах ($x, y, z \in \mathbb{N}$):$$\begin{cases} x + y + z = 14, \\ x + yz = 19.\end{cases}$$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам исключить переменную $x$:
$(x + yz) - (x + y + z) = 19 - 14$
$yz - y - z = 5$

Полученное уравнение является диофантовым уравнением. Мы можем преобразовать его левую часть для разложения на множители. Для этого прибавим 1 к обеим частям уравнения (метод, известный как выделение полного произведения или трюк Саймона):
$yz - y - z + 1 = 5 + 1$
Сгруппируем слагаемые:
$y(z - 1) - 1(z - 1) = 6$
$(y - 1)(z - 1) = 6$

Согласно условию, переменные $y$ и $z$ являются натуральными числами, то есть $y \ge 1$ и $z \ge 1$. Это означает, что множители $(y - 1)$ и $(z - 1)$ являются целыми неотрицательными числами. Поскольку их произведение равно 6 (положительное число), ни один из множителей не может быть равен нулю. Следовательно, $(y-1)$ и $(z-1)$ — это натуральные числа, которые в произведении дают 6.

Рассмотрим все возможные пары натуральных делителей числа 6.

1. Пусть $y - 1 = 1$ и $z - 1 = 6$.
Тогда $y = 2$ и $z = 7$.
Подставим найденные значения $y$ и $z$ в первое уравнение исходной системы ($x + y + z = 14$):
$x + 2 + 7 = 14 \implies x + 9 = 14 \implies x = 5$.
Мы получили тройку чисел $(5, 2, 7)$. Все числа натуральные. Выполним проверку, подставив их во второе уравнение ($x + yz = 19$): $5 + 2 \cdot 7 = 5 + 14 = 19$. Решение является верным.

2. Пусть $y - 1 = 2$ и $z - 1 = 3$.
Тогда $y = 3$ и $z = 4$.
Подставим в первое уравнение:
$x + 3 + 4 = 14 \implies x + 7 = 14 \implies x = 7$.
Получили тройку $(7, 3, 4)$. Проверим по второму уравнению: $7 + 3 \cdot 4 = 7 + 12 = 19$. Решение верное.

3. Пусть $y - 1 = 3$ и $z - 1 = 2$.
Тогда $y = 4$ и $z = 3$.
Подставим в первое уравнение:
$x + 4 + 3 = 14 \implies x + 7 = 14 \implies x = 7$.
Получили тройку $(7, 4, 3)$. Проверим по второму уравнению: $7 + 4 \cdot 3 = 7 + 12 = 19$. Решение верное.

4. Пусть $y - 1 = 6$ и $z - 1 = 1$.
Тогда $y = 7$ и $z = 2$.
Подставим в первое уравнение:
$x + 7 + 2 = 14 \implies x + 9 = 14 \implies x = 5$.
Получили тройку $(5, 7, 2)$. Проверим по второму уравнению: $5 + 7 \cdot 2 = 5 + 14 = 19$. Решение верное.

Мы рассмотрели все возможные пары множителей и нашли все решения системы в натуральных числах.

Ответ: $(5, 2, 7)$, $(7, 3, 4)$, $(7, 4, 3)$, $(5, 7, 2)$.

1081. Докажите, что при положительных значениях a, b и c верно неравенство $\frac{(a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1)}{abc} \ge 27$.

Для доказательства данного неравенства преобразуем его левую часть, разделив каждый множитель в числителе на соответствующую переменную из знаменателя:

$$ \frac{(a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1)}{abc} = \left(\frac{a^2 + a + 1}{a}\right) \left(\frac{b^2 + b + 1}{b}\right) \left(\frac{c^2 + c + 1}{c}\right) $$

Теперь рассмотрим каждый множитель по отдельности. Для первого множителя имеем:

$$ \frac{a^2 + a + 1}{a} = a + 1 + \frac{1}{a} $$

По условию задачи, переменная $a$ имеет положительное значение ($a > 0$). Следовательно, мы можем применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для трех положительных чисел: $a$, $1$ и $\frac{1}{a}$.

Среднее арифметическое этих чисел не меньше их среднего геометрического:

$$ \frac{a + 1 + \frac{1}{a}}{3} \ge \sqrt[3]{a \cdot 1 \cdot \frac{1}{a}} $$

Упростим правую часть неравенства:

$$ \frac{a + 1 + \frac{1}{a}}{3} \ge \sqrt[3]{1} $$

$$ \frac{a + 1 + \frac{1}{a}}{3} \ge 1 $$

Умножив обе части на 3, получим:

$$ a + 1 + \frac{1}{a} \ge 3 $$

Таким образом, мы доказали, что $\frac{a^2 + a + 1}{a} \ge 3$. Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда все три числа равны, то есть $a = 1 = \frac{1}{a}$, что верно при $a=1$.

Аналогичные рассуждения применяются и для переменных $b$ и $c$, так как они также положительны:

$$ \frac{b^2 + b + 1}{b} = b + 1 + \frac{1}{b} \ge 3 $$

$$ \frac{c^2 + c + 1}{c} = c + 1 + \frac{1}{c} \ge 3 $$

Равенство в этих случаях достигается при $b=1$ и $c=1$ соответственно.

Поскольку каждый из трех множителей $\left(\frac{a^2 + a + 1}{a}\right)$, $\left(\frac{b^2 + b + 1}{b}\right)$ и $\left(\frac{c^2 + c + 1}{c}\right)$ является положительным числом, мы можем перемножить полученные неравенства:

$$ \left(\frac{a^2 + a + 1}{a}\right) \left(\frac{b^2 + b + 1}{b}\right) \left(\frac{c^2 + c + 1}{c}\right) \ge 3 \cdot 3 \cdot 3 $$

$$ \frac{(a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1)}{abc} \ge 27 $$

Неравенство доказано. Равенство достигается при $a = b = c = 1$.

Ответ: Неравенство доказано с использованием неравенства Коши для каждого из множителей, полученных после преобразования исходного выражения. Что и требовалось доказать.