Номер 1077, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1077. Докажите, что если $x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx$, то $x=y=z$.

Для доказательства данного утверждения начнем с исходного равенства:

$x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить выражение, равное нулю:

$x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0$

Умножим обе части уравнения на 2. Этот шаг поможет нам выделить полные квадраты разностей.

$2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = 2 \cdot 0$

$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0$

Теперь сгруппируем слагаемые. Представим $2x^2$ как $x^2 + x^2$, $2y^2$ как $y^2 + y^2$, и $2z^2$ как $z^2 + z^2$, чтобы использовать формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2) = 0$

Применив формулу, получаем сумму квадратов:

$(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0$

Мы получили сумму трех квадратов. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (то есть $\ge 0$), их сумма может быть равна нулю только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю.

Следовательно, должны одновременно выполняться три условия:

$ \begin{cases} (x - y)^2 = 0 \\ (y - z)^2 = 0 \\ (z - x)^2 = 0 \end{cases} $

Извлекая квадратный корень из каждой части уравнений, получаем:

$ \begin{cases} x - y = 0 \\ y - z = 0 \\ z - x = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = y \\ y = z \\ z = x \end{cases} $

Из этих трех равенств следует, что все три переменные равны между собой.

Ответ: $x=y=z$.