Номер 1082, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1082, страница 246.

1082. Найдите при любом натуральном n значение выражения

$\sqrt[3]{\frac{1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \dots + n \cdot 2n \cdot 4n}{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \dots + n \cdot 3n \cdot 9n}}$

Для нахождения значения данного выражения, рассмотрим отдельно числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком кубического корня.

1. Преобразование числителя

Числитель представляет собой сумму: $1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \dots + n \cdot 2n \cdot 4n$.

Заметим, что каждое слагаемое в этой сумме можно представить в виде произведения, зависящего от его порядкового номера $k$ (где $k$ изменяется от 1 до $n$).

Первое слагаемое ($k=1$): $1 \cdot 2 \cdot 4 = 1 \cdot (2 \cdot 1) \cdot (4 \cdot 1) = 8 \cdot 1^3$.

Второе слагаемое ($k=2$): $2 \cdot 4 \cdot 8 = 2 \cdot (2 \cdot 2) \cdot (4 \cdot 2) = 8 \cdot 2^3$.

Общий, $k$-й член суммы, имеет вид: $k \cdot (2k) \cdot (4k) = k \cdot 2 \cdot k \cdot 4 \cdot k = 8k^3$.

Следовательно, всю сумму в числителе можно записать как:

$1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \dots + n \cdot 2n \cdot 4n = 8 \cdot 1^3 + 8 \cdot 2^3 + \dots + 8 \cdot n^3$.

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$8(1^3 + 2^3 + \dots + n^3) = 8 \sum_{k=1}^{n} k^3$.

2. Преобразование знаменателя

Знаменатель представляет собой сумму: $1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \dots + n \cdot 3n \cdot 9n$.

Аналогично числителю, представим каждый член суммы через его порядковый номер $k$.

Первое слагаемое ($k=1$): $1 \cdot 3 \cdot 9 = 1 \cdot (3 \cdot 1) \cdot (9 \cdot 1) = 27 \cdot 1^3$.

Второе слагаемое ($k=2$): $2 \cdot 6 \cdot 18 = 2 \cdot (3 \cdot 2) \cdot (9 \cdot 2) = 27 \cdot 2^3$.

Общий, $k$-й член суммы, имеет вид: $k \cdot (3k) \cdot (9k) = k \cdot 3 \cdot k \cdot 9 \cdot k = 27k^3$.

Следовательно, всю сумму в знаменателе можно записать как:

$1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \dots + n \cdot 3n \cdot 9n = 27 \cdot 1^3 + 27 \cdot 2^3 + \dots + 27 \cdot n^3$.

Вынесем общий множитель 27 за скобки:

$27(1^3 + 2^3 + \dots + n^3) = 27 \sum_{k=1}^{n} k^3$.

3. Вычисление значения выражения

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\sqrt[3]{\frac{1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \dots + n \cdot 2n \cdot 4n}{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \dots + n \cdot 3n \cdot 9n}} = \sqrt[3]{\frac{8 \sum_{k=1}^{n} k^3}{27 \sum_{k=1}^{n} k^3}}$

Так как $n$ - натуральное число, то сумма кубов $\sum_{k=1}^{n} k^3$ является положительным числом, отличным от нуля. Поэтому мы можем сократить дробь на этот общий множитель:

$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$

Остается извлечь кубический корень:

$\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$

Таким образом, значение выражения не зависит от натурального числа $n$ и всегда равно $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.