Номер 1086, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1086. Взяли два различных натуральных числа. Эти числа сложили, перемножили, вычли из большего данного числа меньшее и разделили большее на меньшее. Оказалось, что сумма всех четырёх результатов равна 441. Найдите эти числа.

Пусть искомые два различных натуральных числа — это $a$ и $b$. Поскольку в условии задачи выполняется вычитание меньшего числа из большего и деление большего на меньшее, предположим, что $a > b$.

Согласно условию, были выполнены четыре операции: сложение ($a + b$), умножение ($a \cdot b$), вычитание ($a - b$) и деление ($\frac{a}{b}$). Сумма всех четырёх результатов равна 441. Составим и упростим уравнение: $$(a + b) + (a \cdot b) + (a - b) + \frac{a}{b} = 441$$ $$a + b + ab + a - b + \frac{a}{b} = 441$$ $$2a + ab + \frac{a}{b} = 441$$

Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, то $2a$ и $ab$ являются целыми числами. Сумма всех слагаемых — целое число 441. Следовательно, слагаемое $\frac{a}{b}$ также должно быть целым числом. Это означает, что $a$ делится на $b$ без остатка.

Обозначим частное от деления $a$ на $b$ как $k$, то есть $\frac{a}{b} = k$. Так как по условию числа $a$ и $b$ различны ($a \neq b$), $k$ должно быть натуральным числом, большим 1, то есть $k \ge 2$. Выразим $a$ через $b$ и $k$: $a = kb$. Подставим это выражение в наше уравнение: $$2(kb) + (kb)b + \frac{kb}{b} = 441$$ $$2kb + kb^2 + k = 441$$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки и преобразуем выражение в скобках в полный квадрат: $$k(b^2 + 2b + 1) = 441$$ $$k(b + 1)^2 = 441$$

Теперь нам нужно найти натуральные числа $b \ge 1$ и $k \ge 2$, которые удовлетворяют этому уравнению. Для этого разложим число 441 на простые множители: $441 = 3^2 \cdot 7^2$. Из уравнения следует, что $(b + 1)^2$ должно быть делителем числа 441, который является полным квадратом. Поскольку $b \ge 1$, то $b + 1 \ge 2$, и $(b + 1)^2 \ge 4$. Возможные значения для $(b+1)^2$: $9$, $49$ и $441$.

Рассмотрим каждый случай:

1. Если $(b + 1)^2 = 9$, то $b + 1 = 3$, откуда $b = 2$. Тогда $k = \frac{441}{9} = 49$. Условие $k \ge 2$ выполняется. Находим $a = kb = 49 \cdot 2 = 98$. Получаем пару чисел (98, 2). Проверка: $(98+2) + (98 \cdot 2) + (98-2) + (98/2) = 100 + 196 + 96 + 49 = 441$. Решение верное.

2. Если $(b + 1)^2 = 49$, то $b + 1 = 7$, откуда $b = 6$. Тогда $k = \frac{441}{49} = 9$. Условие $k \ge 2$ выполняется. Находим $a = kb = 9 \cdot 6 = 54$. Получаем пару чисел (54, 6). Проверка: $(54+6) + (54 \cdot 6) + (54-6) + (54/6) = 60 + 324 + 48 + 9 = 441$. Решение также верное.

3. Если $(b + 1)^2 = 441$, то $b + 1 = 21$, откуда $b = 20$. Тогда $k = \frac{441}{441} = 1$. Это значение противоречит условию $k \ge 2$ (так как числа должны быть различными). Следовательно, этот случай не дает решения.

Таким образом, существуют две пары чисел, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 2 и 98; 6 и 54.