Номер 1090, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1090. Постройте множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

а) $xy^2 < x;$

б) $y^2 - x^2y + 2x^2 > 2y;$

в) $x^3 + xy^2 - 4x \le 0;$

г) $x^2y + y^3 - y \ge 0.$

а) $xy^2 < x$

Сначала преобразуем неравенство, перенеся все члены в левую часть и вынеся общий множитель за скобки:
$xy^2 - x < 0$
$x(y^2 - 1) < 0$

Произведение двух сомножителей $x$ и $(y^2 - 1)$ отрицательно, когда они имеют разные знаки. Это приводит к двум возможным случаям:

1. $x > 0$ и $y^2 - 1 < 0$.
Второе неравенство $y^2 < 1$ эквивалентно $-1 < y < 1$.
Таким образом, первая область решения — это вертикальная полоса между прямыми $y=-1$ и $y=1$, расположенная в правой полуплоскости ($x > 0$).

2. $x < 0$ и $y^2 - 1 > 0$.
Второе неравенство $y^2 > 1$ эквивалентно $y > 1$ или $y < -1$.
Таким образом, мы получаем еще две области решения: точки в левой полуплоскости ($x < 0$), которые находятся выше прямой $y=1$, и точки в левой полуплоскости ($x < 0$), которые находятся ниже прямой $y=-1$.

Границами искомого множества являются прямые $x=0$ (ось OY), $y=1$ и $y=-1$. Поскольку неравенство строгое ($<$), сами границы не входят в множество решений и на графике изображаются пунктирными линиями.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству, представляет собой объединение трех областей: полосы, ограниченной прямыми $y=-1$ и $y=1$ в правой полуплоскости ($x > 0$); области в левой полуплоскости над прямой $y=1$ ($x<0, y>1$); и области в левой полуплоскости под прямой $y=-1$ ($x<0, y<-1$). Границы областей ($x=0, y=1, y=-1$) не включаются.

б) $y^2 - x^2y + 2x^2 > 2y$

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их для разложения на множители:
$y^2 - 2y - x^2y + 2x^2 > 0$
$(y^2 - 2y) - (x^2y - 2x^2) > 0$
$y(y - 2) - x^2(y - 2) > 0$
$(y - 2)(y - x^2) > 0$

Произведение двух множителей положительно, когда оба множителя имеют одинаковый знак. Это эквивалентно совокупности двух систем неравенств:

Система 1: $y - 2 > 0$ и $y - x^2 > 0$. Это эквивалентно условию $y > \max(2, x^2)$.
Система 2: $y - 2 < 0$ и $y - x^2 < 0$. Это эквивалентно условию $y < \min(2, x^2)$.

Границами искомого множества служат парабола $y = x^2$ и прямая $y = 2$. Они пересекаются в точках $(-\sqrt{2}, 2)$ и $(\sqrt{2}, 2)$. Поскольку неравенство строгое ($>$), сами границы в решение не входят и изображаются пунктирными линиями.

Решением является объединение двух областей:
1. Область, заданная неравенством $y > \max(2, x^2)$. Это точки, лежащие выше "верхней огибающей" кривых $y=2$ и $y=x^2$. Для $x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ это область $y > 2$, а для $|x| > \sqrt{2}$ это область $y > x^2$.
2. Область, заданная неравенством $y < \min(2, x^2)$. Это точки, лежащие ниже "нижней огибающей" кривых $y=2$ и $y=x^2$. Для $x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ это область $y < x^2$ (внутри параболы), а для $|x| > \sqrt{2}$ это область $y < 2$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству, является объединением двух областей: $\{ (x, y) | y > \max(2, x^2) \}$ и $\{ (x, y) | y < \min(2, x^2) \}$. Границы областей (парабола $y=x^2$ и прямая $y=2$) не включаются.

в) $x^3 + xy^2 - 4x \le 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 + y^2 - 4) \le 0$

Произведение двух множителей неположительно, когда множители имеют разные знаки или один из них равен нулю. Это эквивалентно совокупности двух систем:

Система 1: $x \ge 0$ и $x^2 + y^2 - 4 \le 0$.
Второе неравенство эквивалентно $x^2 + y^2 \le 4$. Это круг с центром в (0,0) и радиусом 2.
Решением этой системы являются точки, лежащие в правой полуплоскости ($x \ge 0$) и внутри или на этой окружности. Это правая половина круга.

Система 2: $x \le 0$ и $x^2 + y^2 - 4 \ge 0$.
Второе неравенство эквивалентно $x^2 + y^2 \ge 4$.
Решением этой системы являются точки, лежащие в левой полуплоскости ($x \le 0$) и вне или на этой окружности.

Границами искомого множества являются прямая $x=0$ (ось OY) и окружность $x^2 + y^2 = 4$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эти линии включаются в решение и изображаются сплошными линиями.

Ответ: Искомое множество точек — это объединение правой половины круга $x^2 + y^2 \le 4$ (при $x \ge 0$) и части плоскости, расположенной в левой полуплоскости ($x \le 0$) вне этого круга ($x^2 + y^2 \ge 4$). Границы областей (ось OY и окружность $x^2+y^2=4$) включаются в решение.

г) $x^2y + y^3 - y \ge 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(x^2 + y^2 - 1) \ge 0$

Произведение двух множителей неотрицательно, когда множители имеют одинаковые знаки или один из них равен нулю. Это эквивалентно совокупности двух систем:

Система 1: $y \ge 0$ и $x^2 + y^2 - 1 \ge 0$.
Второе неравенство эквивалентно $x^2 + y^2 \ge 1$. Это область вне или на единичной окружности с центром в (0,0).
Решением этой системы являются точки, лежащие в верхней полуплоскости ($y \ge 0$) и одновременно вне или на единичной окружности.

Система 2: $y \le 0$ и $x^2 + y^2 - 1 \le 0$.
Второе неравенство эквивалентно $x^2 + y^2 \le 1$. Это единичный круг.
Решением этой системы являются точки, лежащие в нижней полуплоскости ($y \le 0$) и одновременно внутри или на единичной окружности. Это нижняя половина круга.

Границами искомого множества являются прямая $y=0$ (ось OX) и окружность $x^2 + y^2 = 1$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эти линии включаются в решение и изображаются сплошными линиями.

Ответ: Искомое множество точек — это объединение нижней половины круга $x^2 + y^2 \le 1$ (при $y \le 0$) и части плоскости, расположенной в верхней полуплоскости ($y \ge 0$) вне этого круга ($x^2 + y^2 \ge 1$). Границы областей (ось OX и окружность $x^2+y^2=1$) включаются в решение.