Номер 1089, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1089. Решите уравнение

$\sqrt[3]{(65 + x)^2} + 4\sqrt[3]{(65 - x)^2} - 5\sqrt[3]{65^2 - x^2} = 0.$

Данное уравнение:$$ \sqrt[3]{(65 + x)^2} + 4\sqrt[3]{(65 - x)^2} - 5\sqrt[3]{65^2 - x^2} = 0 $$Заметим, что подкоренное выражение в третьем слагаемом можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $65^2 - x^2 = (65 - x)(65 + x)$.Тогда уравнение можно переписать в виде:$$ \sqrt[3]{(65 + x)^2} + 4\sqrt[3]{(65 - x)^2} - 5\sqrt[3]{(65 + x)(65 - x)} = 0 $$Это уравнение является однородным. Для его решения введем замены.Пусть $a = \sqrt[3]{65 + x}$ и $b = \sqrt[3]{65 - x}$.Подставив эти замены в уравнение, получим:$$ a^2 + 4b^2 - 5ab = 0 $$Перепишем его, упорядочив члены по степеням $a$:$$ a^2 - 5ab + 4b^2 = 0 $$Рассмотрим случай, когда $b = 0$.Если $b = \sqrt[3]{65 - x} = 0$, то $65 - x = 0$, откуда $x = 65$.Подставим $x = 65$ в исходное уравнение:$$ \sqrt[3]{(65 + 65)^2} + 4\sqrt[3]{(65 - 65)^2} - 5\sqrt[3]{65^2 - 65^2} = \sqrt[3]{130^2} + 4 \cdot 0 - 5 \cdot 0 = \sqrt[3]{16900} $$Поскольку $\sqrt[3]{16900} \neq 0$, $x = 65$ не является корнем уравнения. Следовательно, $b \neq 0$.Так как $b \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения $a^2 - 5ab + 4b^2 = 0$ на $b^2$:$$ \left(\frac{a}{b}\right)^2 - 5\left(\frac{a}{b}\right) + 4 = 0 $$Сделаем еще одну замену. Пусть $t = \frac{a}{b}$. Уравнение превращается в квадратное относительно $t$:$$ t^2 - 5t + 4 = 0 $$Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни:$t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.Теперь вернемся к исходной переменной $x$, рассмотрев два случая.

Случай 1: $t = 1$.В этом случае $\frac{a}{b} = 1$, что означает $a = b$.Подставляем обратно выражения для $a$ и $b$:$$ \sqrt[3]{65 + x} = \sqrt[3]{65 - x} $$Возводим обе части уравнения в третью степень:$$ 65 + x = 65 - x $$$$ 2x = 0 $$$$ x_1 = 0 $$

Случай 2: $t = 4$.В этом случае $\frac{a}{b} = 4$, что означает $a = 4b$.Подставляем обратно выражения для $a$ и $b$:$$ \sqrt[3]{65 + x} = 4\sqrt[3]{65 - x} $$Возводим обе части уравнения в третью степень:$$ 65 + x = 4^3(65 - x) $$$$ 65 + x = 64(65 - x) $$$$ 65 + x = 64 \cdot 65 - 64x $$Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:$$ x + 64x = 64 \cdot 65 - 65 $$$$ 65x = 63 \cdot 65 $$Разделим обе части на 65:$$ x_2 = 63 $$

Мы нашли два возможных корня: $0$ и $63$. Выполним проверку, подставив их в исходное уравнение.
Проверка для $x = 0$:$$ \sqrt[3]{(65 + 0)^2} + 4\sqrt[3]{(65 - 0)^2} - 5\sqrt[3]{65^2 - 0^2} = \sqrt[3]{65^2} + 4\sqrt[3]{65^2} - 5\sqrt[3]{65^2} = (1+4-5)\sqrt[3]{65^2} = 0 $$Равенство $0 = 0$ верно, значит $x=0$ является корнем.
Проверка для $x = 63$:$$ \sqrt[3]{(65 + 63)^2} + 4\sqrt[3]{(65 - 63)^2} - 5\sqrt[3]{65^2 - 63^2} = 0 $$$$ \sqrt[3]{128^2} + 4\sqrt[3]{2^2} - 5\sqrt[3]{(65-63)(65+63)} = 0 $$$$ \sqrt[3]{(2^7)^2} + 4\sqrt[3]{4} - 5\sqrt[3]{2 \cdot 128} = 0 $$$$ \sqrt[3]{2^{14}} + 4\sqrt[3]{4} - 5\sqrt[3]{2^8} = 0 $$$$ \sqrt[3]{2^{12} \cdot 2^2} + 4\sqrt[3]{4} - 5\sqrt[3]{2^6 \cdot 2^2} = 0 $$$$ 2^4\sqrt[3]{4} + 4\sqrt[3]{4} - 5 \cdot 2^2\sqrt[3]{4} = 0 $$$$ 16\sqrt[3]{4} + 4\sqrt[3]{4} - 20\sqrt[3]{4} = 0 $$$$ (16 + 4 - 20)\sqrt[3]{4} = 0 $$Равенство $0 = 0$ верно, значит $x=63$ также является корнем.

Ответ: $0; 63$.